參考文獻如下：
(1) Feedforward Sequential Memory Neural Networks without Recurrent Feedback
(2) Feedforward Sequential Memory Networks: A New Structure to Learn Long-term Dependency
注意：！！！
小寫字母代表單個標量
大寫字母代表矩陣
小寫字母頭上帶個小箭頭代表向量
1. 模型結構解析：
觀察圖(a),可以發現，在隱藏層的旁邊，FSMN掛了一個記憶模塊Memory Block，記憶模塊的作用與LSTM門結構類似，可以用來記住t時刻輸入信息的相鄰時刻序列的信息。
根據記憶模塊編碼方式的區別，FSMN又可以分為sFSMN和vFSMN，前者代表以標量系數編碼，后者代表以向量系數編碼。
如圖(b)的結構，以記住前N個時刻信息為例，其計算公式如下：
\[\vec{\tilde{h}_t^l} = \sum_{i=0}^{N}a_i^l\cdot \vec{h_{t-i}^l},in...sFSMN\tag{1} \]
\[\vec{\tilde{h}_t^l} = \sum_{i=0}^{N}\vec{a_i^l}\odot\vec{h_{t-i}^l},in...vFSMN\tag{2} \]
其中，(1)式代表的標量乘積，(2)式代表的是Hadamard積
因此，可以得到sFSMN下的編碼系數向量和vFSMN下的編碼系數矩陣：
\[\vec{a^l}=\{ a_0^l,a_1^l,...,a_N^l\},in...sFSMN\tag{3} \]
\[A^l =\{ \vec{a_0^l},\vec{a_1^l},...,\vec{a_N^l}\},in...vFSMN\tag{4} \]
有了這一個隱藏層旁掛着的記憶模塊，就要將此記憶模塊作為輸入傳遞到下一個隱藏層，如圖(a)：
\[\vec{h_t^{l+1}} =f(W^l\vec{h_t^l}+\tilde{W}^l\vec{\tilde{h}_t^l} +\vec{b^l} )\tag{5} \]
多出來的權重矩陣和偏置系數向量，都是后續訓練模型需要調整的參數。
以上就是簡單的回看式FSMN，也就是說當下的記憶模塊只關注了它之前的信息，如果還要關注未來的信息，實現上下文聯通，也就是所謂的雙向的FSMN，直接在(1)式和(2)式中添加后看的階數即可，如下：
\[\vec{\tilde{h}_t^l} = \sum_{i=0}^{N_1}a_i^l\cdot \vec{h_{t-i}^l}+\sum_{j=1}^{N_2}c_j^l\cdot \vec{h_{t+j}^l},in...sFSMN\tag{6} \]
\[\vec{\tilde{h}_t^l} = \sum_{i=0}^{N_1}\vec{a_i^l}\odot\vec{h_{t-i}^l}+\sum_{j=1}^{N_2}\vec{c_j^l}\odot\vec{h_{t+j}^l},in...vFSMN\tag{7} \]
其中N1和N2分別代表前看和后看的階數。
2. 在文本段落上的應用
給定一個包含T個單詞的序列X，我們可以構造一個T階的方陣M：
\[M = \left[ \begin{matrix} a_0 & a_1 & \cdots& a_N&0 & \cdots&0\\ 0 & a_0 &a_1 &\cdots& a_N &\cdots&0 \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_0&a_1&\cdots&a_N \\\vdots&\cdots&&&\ddots&&\vdots\\\\0&\cdots&&&&&a_0\\ \end{matrix} \right]_{T\times T}in...sFSMN\tag{8} \]
\[M = \left[ \begin{matrix} a_0 & a_1 & \cdots& a_{N_1}&0 & \cdots&\cdots&\cdots&0\\ c_1 & a_0 &a_1 &\cdots& a_{N_1}&\cdots&\cdots&\cdots&0\\c_{N_2}&\cdots&c_1&a_0&a_1&\cdots&a_{N_1}&\cdots&0 \\ \vdots && \vdots & \ddots &\ddots&&&\vdots \\ 0 &\cdots &c_{N_2}& \cdots &c_1& a_0&a_1&\cdots&a_{N_1} \\\vdots&\cdots&&&&&\ddots&&\vdots\\\\0&\cdots&&&&c_{N_2}&\cdots&c_1&a_0\\ \end{matrix} \right]_{T\times T}in...vFSMN\tag{9} \]
鑒於上式，我們就有了很美的以下這個公式：
\[\tilde{H} =HM\tag{10} \]
更為推廣的，對於給定的K個序列：
\[L=\{X_1,X_2,...,X_K\}\tag{11} \]
一個更美的公式誕生了：
\[\tilde{H} =\left[ \begin{matrix}H_1,H_2,...,H_K\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}M_1&&&\\&M_2\\&&\ddots\\&&&&M_K\end{matrix} \right]=\bar{H}\bar{M}\tag{12} \]
