期望、方差、協方差、相關系數

 

一、期望

在概率論和統計學中，數學期望（或均值，亦簡稱期望）是試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和。它反映隨機變量平均取值的大小。

線性運算：

推廣形式：

函數期望：設f(x)為x的函數，則f(x)的期望為

　　離散函數：

　　　　

　　連續函數：

　　　　

注意：

函數的期望不等於期望的函數；

一般情況下，乘積的期望不等於期望的乘積；

如果X和Y相互獨立，則E(xy)=E(x)E(y)。

二、方差

概率論中方差用來度量隨機變量和其數學期望（即均值）之間的偏離程度。方差是一種特殊的期望。定義為：

方差性質：

1）

2）常數的方差為0；

3）方差不滿足線性性質；

4）如果X和Y相互獨立，則：

三、協方差

​協方差衡量兩個變量線性相關性強度及變量尺度。 兩個隨機變量的協方差定義為：

方差是一種特殊的協方差。當X=Y時，

協方差性質：

1）獨立變量的協方差為0。

2）協方差計算公式：

3）特殊情況：

四、相關系數

相關系數是研究變量之間線性相關程度的量。兩個隨機變量的相關系數定義為：

相關系數的性質：

1）有界性。相關系數的取值范圍是 ，可以看成無量綱的協方差。

2）值越接近1，說明兩個變量正相關性（線性）越強。越接近-1，說明負相關性越強，當為0時，表示兩個變量沒有相關性。