選址問題
設施選址問題（Facility Location Problem）自20世紀60年代初期以來，在運籌學中一直占據着中心位置。它來自於工廠、倉庫、超市、學校、醫院、圖書館、火車站、代理服務器、傳感器等位置的確定問題。
設施選址問題是NP-難解問題，除非P=NP，設施選址問題不存在多項式時間算法。
P問題：
一個問題可以在多項式（O(n^k)）的時間復雜度內解決。
NP問題：
一個問題的解可以在多項式的時間內被驗證。
NP-hard問題：
任意NP問題都可以在多項式時間內歸約為該問題，但該問題本身不一定是NP問題。歸約的意思是為了解決問題A，先將問題A歸約為另一個問題B，解決問題B同時也間接解決了問題A。
NPC問題：
既是NP問題，也是NP-hard問題。
設施選址問題的近似算法主要分三類：
1. LP rounding
線性規划舍入法：首先給出原問題的線性整數規划模型，然后求解相應的線性規划松弛問題得到分數最優解，根據可行要求對分數最優解進行改造，構造原問題的整數可行解，屬於非組合算法。
2. Primal-Dual
原始對偶法：設計組合算法給出對偶問題的可行解，根據該對偶可行解構造原始問題的整數可行解。
3. Local Search
局部搜索法：給定初始可行解，定義適當的鄰域，通過引入恰當的調整策略，在鄰域中得到改進的可行解，依次迭代，直到調整策略不能改進為止。
1. 選址的意義
2. 選址問題的程序和步驟
- 選址約束條件分析
- 搜索整理資料
- 地址篩選
- 定量分析
- 結果評價
- 復查和確定選址
選址約束條件分析
（1）需求條件
顧客現在分布，未來分布預測，貨物作業量的增長率及物流區域分析。
（2）運輸條件
北京市的四道口蔬菜、果品配送中心就建在鐵路貨運站旁邊，並且近靠公路。
（3）配送服務的條件
向顧客報告到會時間、發送頻率、根據供貨時間計算的從顧客到物流重心的距離和服務范圍等。
（4）用地條件
（5）法規
收集整理資料
為正確構造優化模型必須：
（1）掌握業務量
①工廠到物流中心之間的運輸量
②向顧客配送的貨物數量
③物流中心保管的貨物數量
（2）掌握費用
①工廠至配送中心之間的運輸量
②物流中心到顧客之間的配送費
③與設施、土地有關的費用及人工費、業務費等
① ②兩項費用，隨着業務量和運送距離的變化而變動，所以必須對每一噸公里的費用進行分析（成本分析）； ③項包括可變費用和固定費用，可以根據可變費用和固定費用之和進行成本分析。
選址問題很重要，但是很困難。（1）選址因素相互矛盾。例如：利於配送的地方能較多地接受業務，但常常地價貴、租金高。（2）不同因素的相對重要性很難確定和度量。（3）判斷的標准會隨着時間的變化而變化，現在認為好的選址，過幾年就不一定是好的選址。
家樂福的選址 －對物流中心選址的啟發
家樂福1995年進入中國市場后，短時間內在相距甚遠的京、上海和深圳三地開了大賣場，這是因為可以對立地發展出自己的供應網絡。
根據家樂福自己的統計，從中國本地購買的商品占了商場里所有商品的95%以上，僅2000年采購金額就達15億美元。除了已有的上海、廣東、浙江、福建及膠東半島等各地的采購網絡，家樂福還在北京、天津、大連、青島、武漢、寧波、廈門、廣州及深圳開設區域采購網絡。
家樂福(Carrefour)的法文意思是“十字路口”，而家樂福的選址也不折不扣地體現這一標准－－幾乎所有的都開在十字路口。店址的選擇，其背后精密和復雜的計算，將令行業外人士大吃一驚。
第一，測算商圈內的人口消費能力。中國早期沒有現成的資料可以利用，所以店家不得不借助市場調研公司的力量來收集這方面的信息。
有一種做法是以某個原點出發，測算5分鍾步行會到什么地方，然后是10分鍾步行會到什么地方，最后是15分鍾會到什么地方。根據中國的本地特色，還需要測算以自行車出發的小片、中片和大片半徑，最后是以車行速度來測算小片、中片和大片各覆蓋了什么區域。如果有自然分隔線，如一條鐵路線，或是另一個街區有一個競爭對手，商圈的覆蓋就需要依據這種邊界進行調整。然后，需要對這些區域進行進一步的細化，計算這片區域內各個居住小區的數量和密度、年齡分布、文化水平、職業分布、人均可支配收入等許多指標。家樂福的做法更細致一些，它根據這些小區的遠近程度和居民可支配收入，又划定了重要銷售區和普通銷售區域。
第二，研究這片區域內的城市交通和周邊商圈的競爭情況。如果一個未來的店址周圍有許多的公交車，或是道路寬闊，交通方便，那么銷售輻射的半徑就大為放大。上海的大賣場都非常聰明，例如家樂福古北點周圍的公交線不多，家樂福干脆自己租用公交車定點在一些固定的小區間穿行，方便這些離得比較遠的小區居民上門一次性購齊一周的生活用品。當然，未來潛在銷售區域會受到很多競爭對手的擠壓，所以家樂福也將未來所有的競爭對手計算進去。傳統的商圈分析中，需要計算所有競爭對手的銷售情況，產品線組成和單位面積銷售額等，然后將這些顧及估計的數字從總的區域潛力中減去，未來的銷售潛力就產生了。另外，家樂福還對它的顧客進行了詳細分析：顧客中有60%在34歲以下，70%是女性，然后有28%的人走路，45%乘坐公共汽車而來。所以，大賣場可以依據這些目標顧客的信息來微調自己的商品線。
3. 選址問題的早期研究
早期的選址工作總是以運輸成本為基礎的。盡管大多數研究是在農業和早期工業社會條件下進行的，他們所提出的許多概念一直沿用至今。
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地租出價曲線（Bid-Rent Curves）
從宏觀方面可以將選址方法分成兩類：
（1）運輸成本最小化方法
（2）利潤水平最大化方法
運輸成本最小化方法是由德國農業學家杜能（Johann von Thünen）在1875年就農產品的倉庫選址問題提出的。
Johann von Thünen的選址模型有兩個假定條件：
✓ 假定1：農產品的銷售價格和生產成本在各個不同的市場上都是相同的。
✓ 假定2：由於農民的利潤為農產品的銷售價格減去其生產成本和運輸成本，因而最優的選址策略應當是使運輸成本最小。
杜能（ Johann von Thünen ）認為，任何經濟開發活動能夠支付給土地的最高地租或利潤是產品在市場內的價格與產品運輸到市場的成本之差。如今，當我們觀察圍繞城市中心環形分布的零售、居住、生產制造和農業區時，會發現這一觀點仍然適用。那些能夠支付最高地租的經濟活動將分布在距離城市中心最近的地區以及主要運輸樞紐的周邊地帶。
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韋伯(Weber)的工業分類
韋伯（Weber）在1909年提出：對於使重量減少的生產過程（產成品重量小於原材料的重量），最好工廠建在距原材料處近些。對重量增加的生產過程，最好將工廠建在距市場近的地方以減少運輸費用。對於沒有重量損失的原材料選址可建立在任何合適的地方。
（1）鋼鐵廠煉鋼——最好工廠建在距原材料處近些
（2）飲料廠裝罐——工廠建在距市場近的地方。
（3）裝配線生產——成品重量是裝配過程中使用的所有零部件重量之和。
Weber's Classification of Industries
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胡佛(E.M. Hoover)的遞減運輸費率
胡佛觀察到：運輸費率隨着距離的增加，增幅下降。如果運輸成本是選址的主要決定因素，要使內向運輸與外向運輸的總成本最小，位於原料產地和市場之間的設施必然可以在這兩點之中找到運輸成本最小的點。
4. Minisum/Minimax目標函數
- 中心點—經濟平衡性
- 中心點(中值)—經濟效益性
- 反中心(Anti-Center)
假設在一條直線上，在為宗旨0、5、6、7上有四個點，每個點服務的成本與這些點和新設施間的距離成正比。
上述模型是一個整數線性規划問題，可以用LINGO軟件求解.
- 但實際生活中，收益往往是一個隨機變量，它帶有明顯的不確定因素。如果只是滿足於求解上面這種形式的數學模型，只不過求解了一個數學應用題。
- 數學模型應該考慮更多的實際因素：如果根據抽樣調查數據，我們發現年收益可以設為分布已知的隨機變量
。
則數學模型為：
注意到𝒙𝒊是決策變量，可以由投資者自行決定，以求得更高的回報，但𝝃𝒊卻不受決策者控制，它們是性質完全不同的隨機變量。
上面的數學模型稱為隨機規划模型。隨機規划的求解可以從不同角度出發，得到不同的答案。
收益保障模型
- 很少有參賽隊主動分析最壞情況。
- 想到控制風險的不少，但做出實質性風險控制決策的很少。
- 注意數學建模競賽要爭取做得比多數人好，才能勝出。要考慮實際問題中一些應該做的數據分析，比如效益波動范圍，可靠性（把握）分析（靈敏度分析）等等。
- 不能只是有問有答，不問不答。
- 從不同角度出發得到的數學模型和問題的答案往往是不同的。
- 事實上，有人選擇高回報的投資，有人選擇穩健型的。高回報往往伴隨高風險，回避風險也往往得不到高收益。“撐死膽大的，餓死膽小的。”
- 選定一種方案后，要能夠對模型進行較為全面的分析。比如我們選擇了期望值模型，求解出結果后，應該對目標函數的實際變化區間做一個估計，對有可能出現的最壞情況進行分析。
5. 0-1整數規划方法選址
如圖，新建一個物流中心，有𝒔個候選地點，分別為𝑫𝟏, 𝑫𝟐, ⋯ , 𝑫𝒔 ；原材料、燃料、零配件的供應地有𝒎 個，分別用 𝑨𝟏,𝑨𝟐, ⋯ , 𝑨𝒎 表示，其供應量分別為𝑷𝟏,𝑷𝟐, ⋯ ,𝑷𝒎表示；產品銷售地有𝒏個，分別為𝑩𝟏, 𝑩𝟐, ⋯ , 𝑩𝒏 表示，其銷量分別用𝑸𝟏, 𝑸𝟐, ⋯ , 𝑸𝒏表示。
從𝒔個候選地點中選取一個最佳地址建物流中心，使物流費用達到最低。記𝑪𝒊𝒋表示從𝑨𝒊到𝑫𝒋的每單位量的運輸成本；𝒅𝒊𝒋表示從𝑫𝒋到𝑩𝒌的每單位量的運輸成本；𝑷𝒊𝒋表示從𝑨𝒊到𝑫𝒋的運量，𝑸𝒋𝒌表示𝑫𝒋到𝑩𝒌的運量。引進變量𝑿 = 𝑿𝟏,𝑿𝟐, ⋯ ,𝑿𝒔，其中 
- 引入0-1變量的實際問題
某公司擬在北京的東、西、南三區建立物流配送中心，擬議中有7個位置𝑨𝒊(𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝟕)可供選擇。作如下規定：
◼在東區，由𝑨𝟏, 𝑨𝟐,𝑨𝟑 中至多選2個；
◼在西區，由𝑨𝟒, 𝑨𝟓 中至少選1個；
◼在南區，由𝑨𝟔, 𝑨𝟕 中至少選1個。
如選用𝑨𝒊點，設備投資估計為𝒃𝒊元，每年可獲利潤估計為𝒄𝒊 元，但投資總額不能超過𝑩元。問應選擇哪幾個點可使年利潤最大？
6. 單設施選址
一般的單設施選址模型
給出現有設施位置、新設施和現有設施之間的運輸量，確定使總運輸費用最的最優選址方案。(運輸費用是以運輸距離乘以運輸量來確定的)
直角選址模型（折線距離）
歐幾里德選址模型（精確重心法）
優點：此類方法不限於在特定的備選地點進行選擇，靈活性較大。
缺點：①由於自由度較大，由迭代計算求得的最佳地點實際上往往很難得到。因為，所選地址可能位於河流、湖泊中間或街道中間，還有的地點可能在自然條件不容許選用的地方等。
②另外，從所選設施地點（如物流中心）向需求點發送，被認為都是直線往復的運輸，這也是不符合實際的。實際上，多數情況是一輛車巡回於數個零售店之間，而且通常要考慮實際的道路距離，這就使這種方法的求解相當復雜。這也是這種方法的另一缺點。
加權因素分析
這種方法既可考慮影響設施選址的定量因素也可考慮定性因素，但在分析之前需要確定一系列候選地點。
步驟流程：
①確定選擇地點時需考慮的因素及標准、各評 價標准的權重或相對重要性。
②給每個地點的所有因素從1到10進行打分。
③
影響地點選擇的主要因素
單設施選址模型的推廣
精確重心法的連續選址特性和其簡單性使其不論是作為一個選址模型，還是作為更復雜方法的子模型都很受歡迎，也鼓舞着研究者拓展模型的功效。
精確重心模型有許多推廣模型，其中主要有：考慮客戶服務和收入，解決多設施選址問題，引入非線性運輸成本等。
對單設施選址問題的評述
沒有任何模型具有某一選址問題所希求的所有特點，也不可能由模型的解能夠直接導出最終決策，或者說管理人員只需把選址問題委托給分析人員就高枕無憂了。因此，我們只能希望這些模型可以提供指導性解決方案。有效利用這些模型不僅需要我們充分認識其優勢，還需要了解其缺陷。
這些單設施選址模型的優點是他們有助於尋找選址問題的最優解，而且因為這些模型能夠充分真實地體現實際問題。
模型的缺點：選址模型的結果有可能失實。但主要看問題的敏感程度。
7. 多設施選址
對大多企業而言，其面臨的問題往往是必須同時決定兩個或多個設施的選址，雖然問題更加復雜，卻更接近實際情況。多設施選址問題很普遍，因為除了非常小的公司以外，幾乎所有公司的物流系統中都有一個以上的倉庫。由於不能將這些倉庫看成是經濟上相互獨立的，而且可能的選址布局方案相當多，因而問題十分復雜。
精確法
含義：精確法是指這樣一些方法，這些方法能夠保證得到選址問題的數學最優解，或者至少是精確度已知條件下的解。
優勢：精確法在許多方面堪稱解決選址問題的理想方法。微積分和數學規划模型即屬於該類方法。
劣勢：該方法將導致計算機運行時間很長，要求的內存空間巨大，且在適用於實際問題時會有一些問題定義不太准確。
多重心法
精確重心法是一種以微積分為基礎的模型，用來找出起訖點之間使運輸成本最小的中介設施的位置。
如果要確定的點不止一個，就有必要將起訖點預先分配給位置待定的設施。這就形成了個數等於待選址設施數量的許多起訖點群落。
隨后找出每個起訖點群落的精確重心點。針對設施進行起訖點分配的方法很多，尤其是在考慮多個設施及問題涉及眾多起訖點時。方法之一是把相互間距離最近的點組合起來成群落，找出各群落的重心位置，然后將各點重新分配到這些位置已知的設施，找出修正后的各群落新的重心位置，繼續上述過程直到不再有任何變化。這樣完成了特定數量設施選址的計算。該方法也可以針對不同數量的設施重復計算。
如果能夠評估所有分配起訖點群落的方式，那么該方法是最優的。盡管如此，就實際問題的規模而言，在計算上卻是不現實的。即便預先將大量顧客分配給很少的幾個設施，也是一件極其龐雜的工作。因此還需要使用其他方式。
模擬法
針對實際選址問題得到的最優解不好或不可行，可以采用模擬的方法進行評判。
在模擬方法中，問題的復雜性及各種變量之間的相關關系用一些公式進行建模，模型的輸入用概率分布進行描述，然后運行模擬模型來模仿實際系統的運行狀態及其隨時間變化的過程，並通過對模擬運行過程的觀察和統計得到被模擬系統的輸出參數和基本特性，以此估計和推斷實際系統的真實參數和性能。
模擬模型與算術選址模型不同，它要求分析員或管理人員必須明確網絡中需要的特定設施。根據被挑選出來等待評估的個別設施及其分配方案判斷這是最優的，還是接近最優的選址方式。
8. 動態設施選址
在有些情況下，選址決策是動態的。
原因：由於從某一階段到下一階段對現有設施的需求不同、新設施能力不同或新設施的運行費用不同而造成的。在動態情況下，必須對新設施重新選址來滿足變化了的費用結構及其它需求。
出現的問題：將會導致花費過大，這些費用包括在舊址上關閉設施的費用，搬移設備和從舊址到新址搬運零件的費用及在新址初始的采購和安裝費用。在有些情況下，由於契約及條款等其它原因不能重新選址。
解決辦法：最好的方法就是把未來時段的需求和能力數據綜合考慮，將未來的費用轉為現值，再用單階段模型求解當前階段的最佳位置。解決問題時會出現的兩種情況：
（1）當可以重新選址及其費用可以忽略時，那么對每一個階段單獨求解問題就可以了。
（2）當重新選址費用過高時，這個問題求解時應考慮每個階段的選址費用和一個階段到另一個階段重新選址費。
9. 零售/服務設施選址
包括內容：零售和服務中心常常是實物分銷網絡中的最后儲存點，這里包括百貨商店、超級市場、分支銀行、緊急救護中心、教堂、廢品回收中心、消防隊和警察局。
特點：對這些點的選址分析通常會對收入、可達性等因素高度敏感，而不像工廠和倉庫選址那樣更重視成本因素。
是否接近競爭對手、人口構成、顧客交通模式、是否靠近互補性商店、是否方便停車、是否接近好的運輸線路、社區對服務的接受程度等因素僅僅是影響零售/服務選址眾多因素中的一小部分。因此，前面介紹的方法無法直接應用到這些問題。