選址問題

清華大學肖勇波梁湧老師翻譯的Rardin教授的《運籌學》[1]已於今年年中出版，感謝機械工業出版社張有利老師的推薦和贈書，讓我能看到如此完美的千頁級宏篇譯著。該書的翻譯質量非常高，書中內容深入淺出，附有大量的應用案例（Application）和練習題庫。尤其讓人欣喜的是該著作能與計算實踐密切結合，凡有計算機圖案標記的練習都是與計算和軟件應用相關的，彰顯了運籌學的應用數學本質。有鑒於此，筆者計划對該書中的問題進行大量實踐，爭取達到雙位數的規模。

選址問題

此問題是該書中的一個練習，見原書第二章，練習2-39。此問題是第二章練習中比較復雜的一個。

問題簡述：有五個地點需要派員工作，擬在五個地點中選擇若干個地點建立辦公室，從辦公室到工作地點的旅行根據遠近不同有不同的耗費，在各地建立辦公室的一次性花費也不同。已知各地的派員需求量，規划在何處建址以及各辦公室到不同地點的派員數量，以使得總花費最小。數據如下：

 

+Leapms生成的模型摘錄

對任何問題，+Leapms都建議直接用+Leapms建模語言直接寫出模型，並進行模型調試。

我們的經驗是，模型調試能夠發現模型的不足、促進建模的完美性，甚至可以促進對問題的更加深入的了解。

當模型調試完畢，對模型的正確性有充分的信心后，+Leapms系統可生成模型摘錄，包括數學概念模型（即使用標引符號表示的數學模型）和+Leapms源碼供交流時使用。

使用x[i][j]表示從區域 i向區域j派員，顯然如果有x[i][j]>0則在區域i必須建立辦公室。使用0-1變量y[i]表示是否在區域i建立辦公室。

以下是問題的+Leapms模型摘錄（pdf屏幕截圖）：

 

+Leapms模型求解結果

+Leapms>load
 Current directory is "ROOT".
 .........
        02-01.leap
        02-02.leap
        02-03.leap
        02-39.leap
 .........
please input the filename:02-39
================================================================
1:  //2-39 To improve tax compliance the Texas
2:  //Comptroller’s staff regularly audits at corporate
3:  //home offices the records of out-of-state corporations
4:  //doing business in Texas. Texas is considering
5:  //the opening of a series of small offices near
6:  //these corporate locations to reduce the travel
7:  //costs now associated with such out-of-state audits.
8:  //The following table shows the fixed cost (in
9:  //thousands of dollars) of operating such offices at
10:  //5 sites i, the number of audits required in each
11:  //of 5 states j, and the travel cost (in thousands of
12:  //dollars) per audit performed in each state from a
13:  //base at any of the proposed office sites.
14:  //=======================================================
15:  //TaxSite|FixedCost|Costa
16:  //=======================================================
17:  //           1   2   3   4   5
18:  //     1 160 0   0.4 0.8 0.4 0.8
19:  //     2  49 0.7 0   0.8 0.4 0.4
20:  //     3 246 0.6 0.4 0 0.5 0.4
21:  //     4  86 0.6 0.4 0.9 0 0.4
22:  //     5 100 0.9 0.4 0.7 0.4 0
23:  //Audits     200 100 300 100 200
24:  //=======================================================
25:  //We seek a minimum total cost auditing plan.
26:
27:  min sum{i=1,..m;j=1,..,n}c[i][j]a[j]x[i][j] + -->
28:     sum{i=1,..m}f[i]y[i]
29:  subject to
30:     sum{i=1,..,m}x[i][j]= 1 | j=1,..,n
31:     sum{j=1,..,n}x[i][j] <= M*y[i] |i=1,..,m
32:  where
33:     m,n are integers
34:     M is a number
35:     f[i] is a number|i=1,..,m
36:     a[j] is a number|j=1,..,n
37:     c[i][j] is a number|i=1,..,m;j=1,..,m
38:     y[j] is a variable of binary|j=1,...,n
39:     x[i][j] is a variable of nonnegative number -->
40:             |i=1,..,m;j=1,..,n
41:  data_relation
42:     M=sum{j=1,..,n}a[j]
43:  data
44:     m=5
45:     n=5
46:     f={160 49 246 86 100}
47:     c={
48:         0 0.4 0.8 0.4 0.8
49:       0.7   0 0.8 0.4 0.4
50:       0.6 0.4   0 0.5 0.4
51:       0.6 0.4 0.9 0   0.4
52:       0.9 0.4 0.7 0.4   0
53:     }
54:     a={200 100 300 100 200}
================================================================
>>end of the file.
Parsing model:
1D
2R
3V
4O
5C
6S
7End.
..................................
number of variables=30
number of constraints=10
..................................
+Leapms>mip
relexed_solution=0.712222; number_of_nodes_branched=0; memindex=(2,2)
The Problem is solved to optimal as an MIP.
找到整數規划的最優解.非零變量值和最優目標值如下：
  .........
    x2_2* =1
    x2_4* =1
    x3_1* =1
    x3_3* =1
    x3_5* =1
    y2* =1
    y3* =1
  .........
    Objective*=535
  .........
+Leapms>

 

討論

以上求解的變量結果與原著中給出的變量結果不一致，其原因是問題存在多解。

參考文獻

[1] Rardin R. L 著，肖勇波、梁湧譯. 運籌學. 北京:機械工業出版社,2018