前言
一、數學模型
- 超幾何分布
一般的，在含有\(M\)件次品的\(N\)件產品中，任取\(n\)件，其中恰有\(X\)件次品，則事件\(\{X=k\}\)發生的概率為\(P(X=k)=\cfrac{C_M^k\cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\)，(\(k=0，1，2，\cdots，m\))，其中\(m=min\{M，n\}\)，且\(n\leq N\)，\(M\leq N\)，\(n\)，\(M\)，\(N\in N^*\)，稱這樣的分布列為超幾何分布列，如果隨機變量\(X\)的分布列具有下表的形式，則稱隨機變量\(X\)服從超幾何分布。
如果\(X\)服從參數為\(n\)，\(M\)，\(N\)的超幾何分布，記作\(X\sim H(n，M，N)\)，其數學期望\(E(X)=\cfrac{nM}{N}\)。
二、應用實例
①10件產品中含有3件次品，從中任意取4件產品，所取出的次品件數服從超幾何分布；
②袋中有8紅球4白球，從中任意摸出5個球，摸出紅球個數服從超幾何分布；
③某班45個學生，女生20人，現從中選7人做代表，代表中所含女生的人數服從超幾何分布；
④15張卡片中含有5件寫有“獎”字，從中任意取3件產品，所取出的卡片中含有獎字的卡片張數服從超幾何分布；
⑤10位代表中有5位支持候選人\(A\)，隨機采訪3人，其中支持候選人\(A\)的人數服從超幾何分布；
⑥盤中裝有10個粽子，豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，從中任選3個，取到的豆沙粽的個數服從超幾何分布；
注意：在具體題目中，可能需要將上述的三類數據轉化為兩類數據：豆沙粽子和非豆沙粽子。
三、典例剖析
解后反思：
①超幾何分布的特點是：總體有A，B兩類元素(如男女、正品次品等)組成，從總體中不放回的取出一定數目的元素，其中含有一類元素的個數即服從超幾何分布；
②在具體題目中給定的數據種類比較多時，可能需要將其轉化為需要的兩類。比如本題目第(1)問中，為求解選出的4人中有2個種子選手，且種子選手來自同一協會，我們需要將甲乙兩個協會的給定人數轉化為兩類：情形一，一類為甲協會的2個種子選手，另一類為3個非種子選手，此時將乙協會的兩個人不予考慮；情形二，一類為乙協會的3個種子選手，另一類為3個非種子選手，此時將甲協會的兩個人不予考慮；本題目第(2)問中，需要將8人分為兩類：一類是5個種子選手，另一類是3個非種子選手。
③超幾何分布中隨機變量取各個值的概率是古典概型，使用古典概型的分式進行計算。
