遞歸用法總結

遞歸定義

遞歸調用：在調用一個函數的過程中，這個函數本身又直接或間接地調用了函數本身。
通俗地說，舉個例子。有5個學生在一起，問第5個學生有多少錢，他說比第4個學生多2塊，第四個又說比第三個多2塊，第三個比第二個多2塊，第二個又比第一個多2塊。第一個人說自己只有10塊。在這個例子中，我們求第5個人有多少錢的時候，可以通過第四個人，第四個通過第三個，一次類推。這就是遞歸的思想。
上述求學生錢的例子表達式可以用以下表達式：

    money(5) = money(4) + 2;
    money(4) = money(3) + 2;
    money(3) -= money(2) + 2;
    money(2) = money(1) +2;
    money(1) = 10;

數學公式如下

money(n) = 10;    (n=1)
money(n) = money(n-1) + 2; (n>1)

總的來說，遞歸要有以下兩個條件：

1. 基線條件：也就是停止條件
   2.遞歸條件：遞歸關系的表述

遞歸的幾個經典題目

斐波那契數列

斐波那契數列是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次類推下去，你會發現，它后一個數等於前面兩個數的和。在這個數列中的數字，就被稱為斐波那契數。
仔細觀察我們可以知道，從第三項開始，當前項都等於前兩項之和。這就是遞歸的條件。

long fac(long n){
   if(n == 1 || n == 0){
               return n;
    }
   if(n < 0)
        return -1;            //-1代表錯誤
   
   return fac(n - 1) + fac(n - 2);
}

階乘問題

遞歸表達式：n! = n * (n-1)!

long f(int n){
    if( n == 1 || n == 0)
        return 1;
    if(n < 0)
        return -1;

    return f(n-1) * n;
}

漢諾塔問題

法國數學家愛德華·盧卡斯曾編寫過一個印度的古老傳說：在世界中心貝拿勒斯（在印度北部）的聖廟里，一塊黃銅板上插着三根寶石針。印度教的主神梵天在創造世界的時候，在其中一根針上從下到上地穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔。不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法則移動這些金片：一次只移動一片，不管在哪根針上，小片必須在大片上面。僧侶們預言，當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸於盡。

簡單概述如下：
有三根桿子X，Y，Z。X桿上有N個(N>1)穿孔圓盤，盤的尺寸由下到上依次變小。要求按下列規則將所有圓盤移至Y桿：

1. 每次只能移動一個圓盤；
2. 大盤不能疊在小盤上面；

實現如下

void hanoi(int n,char from,char tmp,char to){
if (n>0) {
    hanoi(n - 1, from, to, tmp);
    cout<<"take " + n + " from " + from + " to " + to;
    hanoi(n - 1, tmp, from, to);
}
}

倒敘輸出一個正整數

說明：給出正整數 n=12345，希望以各位數的逆序形式輸出，即輸出54321

遞歸思想：先輸出個位數字，然后在輸出個位數字前面的數字，知道沒有數字

代碼實現如下：

void printNum(int n){
     cout << n % 10 << " ";
     if( n > 10){
            printNum(n / 10);
     }
}

排序問題

用遞歸實現：輸入一個字符串，打印出該字符串中字符的所有排列。例如輸入字符串abc，則輸出由字符a、b、c所能排列出來的所有字符串abc、acb、bac、bca、cab和cba。

遞歸思想
假如針對abc的排列，可以分成

1. 以a開頭，加上bc的排列

2. 以b開頭，加上ac的排列

3. 以c開頭，加上ab的排列

   void strfac(string s, int k){

    //遞歸出口條件：當交換到最后時就輸出整個字符串
    if(k == s.length())
    {
        for(int i = 0; i < k; i++){
    	    cout << s[i] << " ";
        }
        cout <<endl;
    }
   
   
    //開始遞歸的算法
    for(int i = k; i < s.length(); i++){
   
        //將k個字符交換
        char t = s[k];
        s[k] = s[i];
        s[i] = t;
   
        //而后遞歸調用k+1個字符
        strfac(s,k+1);
   
   
        //回溯后變回原來的字符
        {
    	    char t = s[k];
    	    s[k] = s[i];
    	    s[i]= t;
        }
    }
   

   }

遞歸求從 m 個球中摸n個球的排列數

int getSum(int m,int n){

//判斷n 是否大於m
if(m < n){
	cout << "摸得球數不能大於球總數" << endl;
	return 0;
}

if( m == n)
	return 1;
if(n == 0)
	return 0;

return getSum(m-1,n-1) +getSum(m-1,n);

}

求兩個子串的最大公共序列長度

int getsublen(string s1,string s2){

    if(s1.length() == 0 || s2.length() == 0)
	    return 0;

    if(s1.at(0) == s2.at(0))
	    return getsublen(s1.substr(1),s2.substr(1)) + 1;
    //不相等則子串加一
    else
	    return max(getsublen(s1.substr(1),s2),getsublen(s1,s2.substr(1)));
}

int max(int a,int b){

    if(a > b)
	return a;
    else
	    return b;
}