卡特蘭數
大神解釋：https://blog.csdn.net/akenseren/article/details/82149145 權侵刪
原題
有一個容量足夠大的棧，n個元素以一定的順序入棧，出棧順序有多少種？
比如，AB兩個元素，入棧順序為AB，出棧情況有兩種：
（1）入A，出A，入B，出B，出棧順序為AB；
（2）入A，入B，出B，出A，出棧順序為BA。
因此，2個元素時，結果為2。
分析：設f(n)為“n個元素以一定的順序入棧，出棧順序的種類數”。顯然f(1)=1,f(2)=2。我們現在來分析一般情況。一般情況下，我們可以按照“第一個入棧的元素，在出棧序列中的位置”作為分類手段。
舉個例子，我們假設入棧元素為A，B，C，D。我們按照“A在出棧序列中的位置”分類討論：
（1）當A第一個出棧時，A先進，然后馬上出棧。這種情況下，共有“BCD出棧順序的種類數”種方案。也就是f(n-1)。
（2）當A第二個出棧時，A先進，B再進，之后B需要馬上出來（這樣才能確保A排第二）。此時共有f(n-2)種方案。
（3）當A第三個出棧時，A先進，之后只要確保排在A后面兩個的元素比A先出即可。此時共有f(2)*f(n-3)種方案。f(2)是指“BC入棧出棧順序的種類數”，f(n-3)是指”D入棧出棧的種類數”。
……
分析到這里，規律就很顯然了。
從第一項開始，分別是第一個入棧元素在第i+1個出棧的情況數。
上式中，令f(0)=1 。
這個實際上是卡特蘭數（Catalan number，又稱卡塔蘭數）。
若編程實現，需要維護一個一維數組，時間復雜度為O(n^2)。（遞歸實現的時間復雜度太高）。
卡塔蘭數的通項公式為h(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)(n=0,1,2,...)。
元素A、B、C、D依次進棧,寫出所有可能的出棧序列
應該有14種情況
A第一個出棧：ABCD;ACBD;ACDB;ABDC;ADCB;
A第二個出棧：BACD;BADC;
A第三個出棧：CBAD;BCAD;
A第四個出棧：BCDA;CBDA;CDBA;BDCA;DCBA.
卡特蘭數
卡特蘭數前幾項為 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式： h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另類遞推式： h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
遞推關系的解為： h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
遞推關系的另類解為： h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=1,2,3,...)
本題目的常規分析
首先，我們設f（n）=序列個數為n的出棧序列種數。同時，我們假定第一個出棧的序數是k。
第一個出棧的序數k將1~n的序列分成兩個序列，其中一個是1~k-1，序列個數為k-1，另外一個是k+1~n，序列個數是n-k。
此時，我們若把k視為確定一個序數，那么根據乘法原理，f（n）的問題就等價於——序列個數為k-1的出棧序列種數乘以序列個數為n - k的出棧序列種數，即選擇k這個序數的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k可以選1到n，所以再根據加法原理，將k取不同值的序列種數相加，得到的總序列種數為：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
看到此處，再看看卡特蘭數的遞推式，答案不言而喻，即為f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=1，2，3，……）。
最后，令f（0）=1，f（1）=1。
非常規分析
問題等價於：n個1和n個0組成一2n位的2進制數，要求從左到右掃描，1的累計數不小於0的累計數，試求滿足這條件的數有多少？【對於每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態‘1’，出棧設為狀態‘0’】
解答： 設P2n為這樣所得的數的個數。在2n位上填入n個1的方案數為 C（n 2n）
不填1的其余n位自動填以數0。從C（n 2n）中減去不符合要求的方案數即為所求。
不合要求的數指的是從左而右掃描，出現0的累計數超過1的累計數的數。
不合要求的數的特征是從左而右掃描時，必然在某一奇數2m+1位上首先出現m+1個的累計數，和m個1的累計數。
此后的2（n－m）－1位上有n－m個1，n－m－1個0。如若把后面這部分2（n－m）－1位，0與1交換【就是0換成1 1換成0 不是順序的調換 是數值換】，使之成為n－m個0，n－m－1個1，結果得 1個由n＋1個0和n－1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n－1個0和n＋1個1組成的一個排列。
我們把進棧設為狀態‘1’，出棧設為狀態‘0’。【對於每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次】
由於任意時刻，出棧的操作數一定不超過入棧的操作數
不符合要求的數的特征是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，
【出棧數已經大於入棧數了】【因為合法的排列 無論在哪個位置 1都是>=0的】【前面m個位置0、1排列不管怎么排列都已經不合法）】
此后的2(n-m)-1位上有n-m個1和n-m-1個0。如若把后面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，
結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
卡特蘭數 為什么要0 1 互換？【互換后的排列中0比1多1個，那么不管怎么排列，也都不合法】
類似問題 買票找零
1.有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
最終結果：C(2n,n)-C(2n,n+1)
2.