層次分析法（Analytic Hierarchy Process）
參考：
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THE ANALYTIC HIERARCHY PROCESS-WHAT IT IS AND HOW IT IS USED（英文，作者即AHP提出者，美國運籌學家、匹茲堡大學T.L.Saaty教授）
1. 概述
我們遇到的大多數問題（決策目標），都可以逐層拆解為：准則，子准則，……，最底層即所有的可選方案。
拆解層級如圖。注意對於父層的每一個因素，必須包含（聯系於）子層的所有因素。
我們知道，大多數決策過程既存在客觀成分（客觀指標），也存在主觀因素（心理，偏好等）。
AHP正是一種很好的解決方案，可以結合主、客觀因素，定量作出決策。
作者的原話是：
For a long time people have been concerned with the measurement of both physical and psychological events. By physical...
By contrast, the psychological is the realm of the intangibles as it relates to subjective ideas and beliefs of the individual about himself of herself and the world of experience. The question is whether there is a coherent theory that can deal with both these worlds of reality without compromising either. The AHP is a method that can be used to establish measures in both the physical and social domains.
由於AHP的本質方法是計算各個因素的權值，因此也常用於對各影響因素進行重要性排序。
實際上，人作決策時往往也會對各參考因素排序，因此AHP和人的決策過程具有一致性。
2. AHP算法
2.1 建立層級
對於一個既定決策目標（目標層），我們將其逐層拆解為多層，名為准則層；最底層即方案層。
AHP的最終目標，就是確定方案層中的每一個方案，對於目標層的相對權重。
如上圖，“選購筆記本”屬於目標層，三款電腦屬於方案層，中間的參考因素都屬於准則層。
注意，同一層級的元素之間必須是相互獨立的(Independence)，否則，應考慮網絡分析法ANP。
2.2 構造 成對 比較 矩陣
假設某\(f_1\)層有一個元素source。我們想探究，下一層\(f_2\)中的所有元素，對於source元素而言的重要性。
絕對重要性是很難量化的，但相對重要性比較好量化。
因此我們構造如下矩陣：
其中，\(a_{ij} = \frac{w_{i}}{w_{j}}\)代表：\(f_2\)層中，\(i\)元素與\(j\)元素相比，對於\(f_1\)層source元素的相對重要程度。\(w_{i}\)即該層級中准則\(i\)的絕對權重。
Saaty建議用整數\(1\)到\(9\)及其倒數，作為\(a_{ij}\)的值域。該值域又稱為比例尺度Ratio Scale。
比如，若\(a_{ij}=9\)，那么與\(j\)元素相比，\(i\)元素對於source元素絕對重要得多得多得多得多。
又如，若\(a_{ij}=1\)，那么\(j\)和\(i\)元素對於source元素是同等重要的。
顯然，成對比較矩陣元素\(a_{ij}\)滿足：
- \(a_{ij}>0\)
- \(a_{ji} = \frac{w_{j}}{w_{i}} = \frac{1}{\frac{w_{i}}{w_{j}}} = \frac{1}{a_{ji}}\)
- \(a_{ii}=1\)
基於以上特點，該矩陣又稱為正互反矩陣(Positive Reciprocal Matrix)。
由於相對重要性的判斷容易出現偏差，因此Saaty建議同一層級的元素不要超過7個。作者原話是：
The question is, "How much should one include in a hierarchy?" A general rule is that the hierarchy should be complex enough to capture the situation, but small and nimble enough to be sensitive to changes.
2.3 成對比較矩陣的 一致性檢驗 與 層次單排序
假設\(i\)元素（對source元素）的重要性是\(j\)元素的3倍，\(j\)元素的重要性是\(k\)元素的2倍。
那么符合直覺的是：\(i\)元素（對source元素）的重要性是\(k\)元素的6倍。
這就稱為傳遞性(Transitivity)，也稱為一致性(Consistency)。
若一個成對比較矩陣中的元素都滿足：\(a_{ik} \cdot a_{kj} = a_{ij}\)，則稱\((a_{ij})_{n \times n}\)為一致性矩陣。判斷定理如下：
定理：\(n\)階正互反矩陣\(A\)為一致性矩陣，等價於：\(A\)的最大特征值\({\lambda}_{max} = n\)，其余特征值為0。
證明：參見這篇論文
其中關鍵的一點是：設\(\overline{w} = (w_1,w_2,\cdots,w_n)^T\)是權值向量，那么有\(A\overline{w} = n\overline{w}\)，特征向量\(\overline{w}\)對應的特征值就是\(n\)。
實際操作中，我們難遇完全一致的成對比交矩陣，一是因為客觀事物並不簡單（相互關聯等），二是人的判斷有主觀性。
因此，Saaty建議先求出\(A\)的最大特征值，其對應的特征向量歸一化后（使元素和為1）即權值向量。這一過程稱為層次單排序。
在實際應用中，最大特征值往往是近似求解的。可以參見各路PPT。
但是顯然，這種近似是有條件的：\(A\)需要滿足一定程度的一致性。
一致性指標(Consistence Index)的檢驗方法，就稱為一致性檢驗：\(CI = \frac{\lambda_{max}-n}{n-1}\)。
顯然，當\(CI = 0\)時，表示完全一致；\(CI\)越大，一致性越差。
CI是否能為負？正互反矩陣的最大特征值是否一定不小於其階數？考證了很久沒得到結果。。
Oak Ridge National Laboratory & Wharton School進行了一項研究。假設\(A\)具有某一階數，其值是隨機生成的。
經過1000次隨機模擬后，我們統計了平均的\(CI\)值：
這又稱為隨機性指標(Random Index)。顯然，如果我們的\(A\)具有和\(RI\)相近的\(CI\)，那么我們的矩陣很可能是無效的。
因此規定，只有當一致性比率(Consistency Ratio)\(CR = \frac{CI}{RI} <0.1\)時，一致性才令人滿意。
2.4 層次總排序
在層次單排序后，我們把各層權重合成。合成后也可以計算一致性指標，但通常不予考慮。詳見第一個參考鏈接。