Python實現機器學習算法：EM算法

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數據集：偽造數據集（兩個高斯分布混合）
數據集長度：1000
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運行結果：
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the Parameters set is:
alpha0:0.3, mu0:0.7, sigmod0:-2.0, alpha1:0.5, mu1:0.5, sigmod1:1.0
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the Parameters predict is:
alpha0:0.4, mu0:0.6, sigmod0:-1.7, alpha1:0.7, mu1:0.7, sigmod1:0.9
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import numpy as np
import random
import math
import time

def loadData(mu0, sigma0, mu1, sigma1, alpha0, alpha1):
    '''
    初始化數據集
    這里通過服從高斯分布的隨機函數來偽造數據集
    :param mu0: 高斯0的均值
    :param sigma0: 高斯0的方差
    :param mu1: 高斯1的均值
    :param sigma1: 高斯1的方差
    :param alpha0: 高斯0的系數
    :param alpha1: 高斯1的系數
    :return: 混合了兩個高斯分布的數據
    '''
    # 定義數據集長度為1000
    length = 1000

    # 初始化第一個高斯分布，生成數據，數據長度為length * alpha系數，以此來
    # 滿足alpha的作用
    data0 = np.random.normal(mu0, sigma0, int(length * alpha0))
    # 第二個高斯分布的數據
    data1 = np.random.normal(mu1, sigma1, int(length * alpha1))

    # 初始化總數據集
    # 兩個高斯分布的數據混合后會放在該數據集中返回
    dataSet = []
    # 將第一個數據集的內容添加進去
    dataSet.extend(data0)
    # 添加第二個數據集的數據
    dataSet.extend(data1)
    # 對總的數據集進行打亂（其實不打亂也沒事，只不過打亂一下直觀上讓人感覺已經混合了
    # 讀者可以將下面這句話屏蔽以后看看效果是否有差別）
    random.shuffle(dataSet)

    #返回偽造好的數據集
    return dataSet

def calcGauss(dataSetArr, mu, sigmod):
    '''
    根據高斯密度函數計算值
    依據：“9.3.1 高斯混合模型” 式9.25
    注：在公式中y是一個實數，但是在EM算法中(見算法9.2的E步)，需要對每個j
    都求一次yjk，在本實例中有1000個可觀測數據，因此需要計算1000次。考慮到
    在E步時進行1000次高斯計算，程序上比較不簡潔，因此這里的y是向量，在numpy
    的exp中如果exp內部值為向量，則對向量中每個值進行exp，輸出仍是向量的形式。
    所以使用向量的形式1次計算即可將所有計算結果得出，程序上較為簡潔
    :param dataSetArr: 可觀測數據集
    :param mu: 均值
    :param sigmod: 方差
    :return: 整個可觀測數據集的高斯分布密度（向量形式）
    '''
    # 計算過程就是依據式9.25寫的，沒有別的花樣
    result = (1 / (math.sqrt(2*math.pi)*sigmod**2)) * np.exp(-1 * (dataSetArr-mu) * (dataSetArr-mu) / (2*sigmod**2))
    # 返回結果
    return result


def E_step(dataSetArr, alpha0, mu0, sigmod0, alpha1, mu1, sigmod1):
    '''
    EM算法中的E步
    依據當前模型參數，計算分模型k對觀數據y的響應度
    :param dataSetArr: 可觀測數據y
    :param alpha0: 高斯模型0的系數
    :param mu0: 高斯模型0的均值
    :param sigmod0: 高斯模型0的方差
    :param alpha1: 高斯模型1的系數
    :param mu1: 高斯模型1的均值
    :param sigmod1: 高斯模型1的方差
    :return: 兩個模型各自的響應度
    '''
    # 計算y0的響應度
    # 先計算模型0的響應度的分子
    gamma0 = alpha0 * calcGauss(dataSetArr, mu0, sigmod0)
    # 模型1響應度的分子
    gamma1 = alpha1 * calcGauss(dataSetArr, mu1, sigmod1)

    # 兩者相加為E步中的分布
    sum = gamma0 + gamma1
    # 各自相除，得到兩個模型的響應度
    gamma0 = gamma0 / sum
    gamma1 = gamma1 / sum

    # 返回兩個模型響應度
    return gamma0, gamma1

def M_step(muo, mu1, gamma0, gamma1, dataSetArr):
    # 依據算法9.2計算各個值
    # 這里沒什么花樣，對照書本公式看看這里就好了
    mu0_new = np.dot(gamma0, dataSetArr) / np.sum(gamma0)
    mu1_new = np.dot(gamma1, dataSetArr) / np.sum(gamma1)

    sigmod0_new = math.sqrt(np.dot(gamma0, (dataSetArr - muo)**2) / np.sum(gamma0))
    sigmod1_new = math.sqrt(np.dot(gamma1, (dataSetArr - mu1)**2) / np.sum(gamma1))

    alpha0_new = np.sum(gamma0) / len(gamma0)
    alpha1_new = np.sum(gamma1) / len(gamma1)

    # 將更新的值返回
    return mu0_new, mu1_new, sigmod0_new, sigmod1_new, alpha0_new, alpha1_new


def EM_Train(dataSetList, iter=500):
    '''
    根據EM算法進行參數估計
    算法依據“9.3.2 高斯混合模型參數估計的EM算法” 算法9.2
    :param dataSetList:數據集（可觀測數據）
    :param iter: 迭代次數
    :return: 估計的參數
    '''
    # 將可觀測數據y轉換為數組形式，主要是為了方便后續運算
    dataSetArr = np.array(dataSetList)

    # 步驟1：對參數取初值，開始迭代
    alpha0 = 0.5
    mu0 = 0
    sigmod0 = 1
    alpha1 = 0.5
    mu1 = 1
    sigmod1 = 1

    # 開始迭代
    step = 0
    while (step < iter):
        # 每次進入一次迭代后迭代次數加1
        step += 1
        # 步驟2：E步：依據當前模型參數，計算分模型k對觀測數據y的響應度
        gamma0, gamma1 = E_step(dataSetArr, alpha0, mu0, sigmod0, alpha1, mu1, sigmod1)
        # 步驟3：M步
        mu0, mu1, sigmod0, sigmod1, alpha0, alpha1 = M_step(mu0, mu1, gamma0, gamma1, dataSetArr)

    # 迭代結束后將更新后的各參數返回
    return alpha0, mu0, sigmod0, alpha1, mu1, sigmod1


if __name__ == '__main__':
    start = time.time()

    # 設置兩個高斯模型進行混合，這里是初始化兩個模型各自的參數
    # 見“9.3 EM算法在高斯混合模型學習中的應用”
    # alpha是“9.3.1 高斯混合模型” 定義9.2中的系數α
    # mu0是均值μ
    # sigmod是方差σ
    # 在設置上兩個alpha的和必須為1，其他沒有什么具體要求，符合高斯定義就可以
    alpha0 = 0.3  # 系數α
    mu0 = -2  # 均值μ
    sigmod0 = 0.5  # 方差σ

    alpha1 = 0.7  # 系數α
    mu1 = 0.5  # 均值μ
    sigmod1 = 1  # 方差σ

    # 初始化數據集
    dataSetList = loadData(mu0, sigmod0, mu1, sigmod1, alpha0, alpha1)

    #打印設置的參數
    print('---------------------------')
    print('the Parameters set is:')
    print('alpha0:%.1f, mu0:%.1f, sigmod0:%.1f, alpha1:%.1f, mu1:%.1f, sigmod1:%.1f' % (
        alpha0, alpha1, mu0, mu1, sigmod0, sigmod1
    ))

    # 開始EM算法，進行參數估計
    alpha0, mu0, sigmod0, alpha1, mu1, sigmod1 = EM_Train(dataSetList)

    # 打印參數預測結果
    print('----------------------------')
    print('the Parameters predict is:')
    print('alpha0:%.1f, mu0:%.1f, sigmod0:%.1f, alpha1:%.1f, mu1:%.1f, sigmod1:%.1f' % (
        alpha0, alpha1, mu0, mu1, sigmod0, sigmod1
    ))

    # 打印時間
    print('----------------------------')
    print('time span:', time.time() - start)