路徑壓縮優化並查集的時間復雜度

路徑壓縮優化並查集大家一定很熟練了，那么它的復雜度是多少呢？ $O(m\alpha(n))$？

的確，很多人都是這么說的，但是事實上它的復雜度是 $O(m\log_{1+m/n}n)$的，並且能找到一種方法卡到這樣的復雜度。

要卡並查集，首先要構造一種樹——二項樹。這種二項樹還與普通的不太一樣。

定義：在給定 $j$的情況下，二項樹 $T_k$定義如下：

• 若 $k\leq j$， $T_k$是一個點。
• 若 $k>j$， $T_k$是 $T_{k-1}$的根結點增加一棵 $T_{k-j}$的子樹。

這棵樹非常有意思，我們可以展開 $T_{k-j}$，接着展開 $T_{k-2j}$……

另外，也可以展開 $T_{k-1}$，接着展開 $T_{k-2}$……

容易發現，圖5看起來像圖4的路徑壓縮之后的結果，但是不完全一樣。

如果首先按照圖5的方式展開 $j$棵子樹，再按圖4展開，可以得到

此時，如果在根節點上再加一個點， $j$次訪問 $T_1$到 $T_j$，那么路徑壓縮后可以得到圖5外加一個點作為根的兒子。

也就是說，這棵二項樹路徑壓縮后約等於沒有路徑壓縮……只是將原來作為根結點父親的那個點變成了兒子。

至於 $T_k$的點數，通過數學歸納法可以發現不會超過 $(j+1)^{k/j-1}$個。

假設 $m\geq n$，令 $j=\frac{m}{n},i=\log_{j+1}\frac{n}{2}+1,k=ij$，那么 $T_k$的點數不超過 $\frac{n}{2}$。接下來做 $\frac{n}{2}$組操作，每次加入一個點作為根結點的父親，然后對 $T_1$到 $T_j$逐個查詢，每次查詢的長度是 $i+1$，同時查詢的次數顯然不超過 $m$。因此總操作次數為 $\frac{n}{2}j(i+1)$，即 $O(m\log_{1+m/n}n)$。

圖片取自康復計划#4 快速構造支配樹的Lengauer-Tarjan算法。