最小生成樹之克魯斯卡爾（kruskal）算法

 Kruskal算法

前面講了最小生成樹的Prim算法的實現思路是，通過頂點的擴展不斷地尋找最小權重的生成樹，而Kruskal算法是查找最小權值的邊，然后逐漸把連通分量變為一個聯結全部頂點的最小生成樹。

不同於 Prim算法 ，這次用邊集數組結構來實現 Kruskal算法 

結構很簡單，包括權值，邊的弧起點和終點的下標

將前面Prim例子中的圖轉化為邊集數組，並且按照權值升序排列儲存為 edges[] 這樣一個數組，那么這樣做的意義就在於后面按照權值的順序來安排邊，代碼如下：

void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i,n,m;
    Edge edges[MAXVEX];
    int parent[MAXVEX];
    //這里省略構造edges數組時的排序步驟代碼
    for(i = 0;i < G.numVertexes;i++)
    {
        parent[i] = 0;
    }
    for(i = 0;i < G.numEdges;i++)
    {
        n = Find(parent,edges[i].begin);
        m = Find(parent,edgws[i].end);
        if(n != m)
        {
            parent[n] = m;
            //將這一條邊的結尾頂點下標存在數組起點下標的位置
            printf("(%d %d) %d",edges[i].begin,edges[i].end,edges[i].weight);
        }
    }
}

int Find(int *parent,int f)
{
    while(parent[f] > 0)
        f = parent[f];
    return f;
}

我們來讀一哈這個代碼：

3~10行定義邊集數組以及初始化 parent 數組，后面詳細講解這個數組的用處

代碼結構較為簡單，故講解11~22行循環，夾雜 Find 函數實現

第一次循環： n = 4 ,m = 7, parent = {0,0,0,0,7,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0} ,然后打印邊的起點終點和權值，此時 parent 數組以數字下標位置和內容表示（v4 v7）這條邊已經加入豪華最小生成樹

第二次循環：n = 2 ,m = 8, parent = {0,0,8,0,7,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0} ,然后打印邊的起點終點和權值，此時 parent 數組以數字下標位置和內容表示（v2 v8）這條邊已經加入豪華最小生成樹

 

 第三次循環：n = 0 ,m = 1, parent = {0,1,8,0,7,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0} ,然后打印邊的起點終點和權值，此時 parent 數組以數字下標位置和內容表示（v0 v1）這條邊已經加入豪華最小生成樹

 第三、四、五、六次循環：因為循環中的判斷條件和之前一樣, 故第六次循環后parent = {1,5,8,7,7,8,0,0,6,0,0,0,0,0,0} ,然后不斷打印邊（v0,v5）（v1,v8）（v3,v7）（v1,v6）的起點終點和權值

當 i = 7 時，我們會發現對應的是 (v5 v6)這條邊，如果打印這條邊，則會生成閉環，就不符合我們最小生成樹的結構要求，那么我們來跑一下 11行的循環， 調用Find函數，會傳入參數 edges[7].begin = 5，此時 Find函數內部，parent[5] = 8，大於0， m = f = parent[8] = 6，而 edges[7].end = 6，傳入Find 得 n = 6，此時m = n，不打印結點信息，（否則將形成閉環）

后面的 i = 8、 i = 9均為閉環所以均不打印

生成樹為

Kruskal算法總結：

假設 N= (V，{E})是連通網，則令最小生成樹的初始狀態為只有 n 個頂點而無邊的非連通圖 T={V，{}}，圖中每個頂點自成一個連通分量。在 E 中選擇代價最小的邊，若該邊依附的頂點落在 T 中不同的連通分量上，則將此邊加入到 T 中，否則舍去此邊而選擇下一條代價最小的邊。依次類推，直至 T 中所有頂點都在同一連通分量上為止。
此算法的 Find 函數由邊數 e 決定，時間復雜度為 O(loge)而外面有一個 for 循環 e 次。 所以克魯斯卡爾算法的時間復雜度為 O(eloge).
對比兩個算法，Kruskal算法主要是針對邊來展開，邊數少時效率會非常高，所以對於稀疏圖有很大的優勢，而Prim算法對於稠密圖，即邊數非常多的情況會更好一些。