[math] 什么是雙曲函數（轉發）

本文轉載自查看原文 2019-02-05 21:35 2772 轉發/ math

我完全不記得上高中的時候學習過雙曲函數。。。額，暴露了。。。

原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/20042215

可能是最好的講解雙曲函數的文章

零、寫在前面

（近期好幾個知友詢問我能否轉載，我在這說一下：隨意，無論你是不是商業的。但是任何轉載都請私信我轉載到了哪里，以及轉載時告訴讀者從哪里轉載的）

對之前在雙曲函數的來歷是什么，與三角函數有什么關系？ - 數學問題下的回答不太滿意，故在此重新撰文。盡我所能全面具體詳細地介紹雙曲函數相關的方方面面，希望它能成為最好的講解雙曲函數的文章。

除了第七部分，高中生都應該可以看懂，因此我不希望大家回復「不明覺厲」，而是看懂它並回復「受益匪淺」。

我希望想了解雙曲函數的知友看了我的文章都能有所收獲。

一、發展歷史

雙曲函數的起源是懸鏈線，首先提出懸鏈線形狀問題的人是達芬奇。他繪制《抱銀貂的女人》時曾仔細思索女人脖子上的黑色項鏈的形狀，遺憾的是他沒有得到答案就去世了。

時隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇論文中又提出了這個問題，並且試圖去證明這是一條拋物線。事實上，在他之前的伽利略和吉拉爾都猜測鏈條的曲線是拋物線。

一年之后，雅各布的證明毫無進展（廢話，證明錯的東西怎么會有進展）。而他的弟弟約翰·伯努利卻解出了正確答案，同一時期的萊布尼茨也正確的給出了懸鏈線的方程。他們的方法都是利用微積分，根據物理規律給出懸鏈線的二次微分方程然后再求解。

18世紀，約翰·蘭伯特開始研究這個函數，首次將雙曲函數引入三角學；19世紀中后期，奧古斯都·德·摩根將圓三角學擴展到了雙曲線，威廉·克利福德則使用雙曲角參數化單位雙曲線。至此，雙曲函數在數學上已經占有了舉足輕重的地位。

19世紀有一門學科開始了全面發展——復變函數。伴隨着歐拉公式的誕生，雙曲函數與三角函數這兩類看起來截然不同的函數獲得了前所未有的統一。

二、函數定義

在講雙曲函數的定義之前，我們先看一看三角函數的定義。如圖所示：

在實域內，三角函數的值是通過單位圓和角終邊上三角函數線的長度定義的。當然這個「長度」是有正負的。

同理，雙曲函數的值也是通過雙曲線和角終邊上的雙曲函數線的長度定義的。如圖：

具體的定義為

$\cosh x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ ，

$\sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ，

$\tanh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$ 。

三、函數性質

和對應的三角函數性質十分類似，但又有一定的區別。

四、恆等式

雙曲函數恆等式一定要結合着三角函數恆等式一起看，真的是太像了：

五、歐拉公式

歐拉公式是復變函數里幾乎最重要的一個公式，它揭示了三角函數和指數函數之間的內在聯系，從形式上也十分簡潔優美：

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

用替換掉，得到

$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

這樣我們可以解出正弦和余弦函數與指數函數的關系式：

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

再把雙曲函數拉過來看看

$\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ $\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

是不是非常接近了呢？很容易看出它們之間存在這樣的關系：

$\cos x=\cosh(ix),\\ \sin x=-i\sinh(ix)$

六、復域統一

先研究一下三角函數和雙曲函數的級數展開。

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$ $\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $\sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

雙曲函數和三角函數的區別僅僅在於是否有的冪這一項，雙曲函數就是將三角函數改為非交錯級數。正是由於其無比相似的級數展開，才使得它們具有十分相似的性質。

我們說了這么多，兩類函數似乎各種相似卻還是不一樣。那么三角函數和雙曲函數的關系到底是什么呢？

在復域上，它們的形狀其實是一樣的！

不信？我們畫一畫圖像。

直觀地看，同一行的兩個函數除了角度不同之外形狀是一樣的。

而其實這個關系前邊已經說明過了：

$\cos x=\cosh(ix),\\ \sin x=-i\sinh(ix)$

這兩個式子說明對應的兩個函數僅通過旋轉（對於復變函數，乘就相當於逆時針旋轉90°）即可重合。

對了，大家都知道三角函數的周期是 $2\pi$ ，那么大家猜猜雙曲函數的周期是多少？沒錯，是 $2\pi i$ ！

七、映射關系（需具備復變函數基礎）

正弦與余弦映射均由復變函數里的基本映射復合而成。如 $\omega=\cos z$ 是由旋轉 $\frac{\pi}{2}$ 的映射、指數函數映射以及如可夫斯基映射復合而成：

$1)\omega_{1}=iz;\quad2)\omega_{2}=e^{\omega_{1}}\quad;3)\omega=\frac{1}{2}(\omega_{2}+\frac{1}{\omega_{2}}).$

由公式

$\sin z=\frac{e^{i(z-\frac{\pi}{2})}+e^{-i(z-\frac{\pi}{2})}}{2}$

同樣可知 $\omega=\sin z$ 的復合過程。

由上述知，寬度為 $\pi$ 的鉛直帶狀區域是 $z->\sin z,z->\cos z$ 的單葉區域。

我們來看看余弦函數在帶狀域 $[-\pi<Re(z)<0]$ 的映射情況：

$\omega = u+vi=\cos z=\cos (x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y$

求直線 $x=x_{0}$ 的像，有

$\begin{cases}u=\cos x_{0}\cosh y\\ v=-\sin x_{0}\sinh y \end{cases}$

由此得

$\frac{u^{2}}{\cos ^{2}x_{0}}-\frac{v^2}{\sin^{2}x_{0}}=1$

這是一個直線到雙曲線的映射，當 $x_{0}$ 為正數和負數時分別為其一個分支。而直線 x=0 被映射為正實軸從1到 $+\infty$ 的割痕，直線 $x=-\pi$ 被映射為沿實軸到 $-\infty$ 的割痕。帶狀域的像為整個 $\omega$ 平面，除去實軸上從-1穿過無窮遠到1的線段。

八、應用范圍

1.懸鏈線

懸鏈線的方程是雙曲余弦函數，這個在文章開頭已經介紹過。而懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜等都用到了懸鏈線的原理。在工程上，定義為懸鏈線系數，而把懸鏈的方程記為

$y=a(\cosh \frac{x}{a} - 1)$

給應用帶來很大的方便，如圖：

2.平行直導線單位長度電容

真空中無限長圓柱形直導線平行放置，相距為，半徑分別為 $R_{1},R_{2}$ ,電荷線密度為 $\pm \lambda$ ,則其單位長電容值為

$C=\frac{Q}{U}=\frac{2\pi \varepsilon_{0} }{\mathrm{arcosh} (\frac{d^{2}-R_{1}^{2}-R_{2}^{2}}{2R_{1}R_{2}})}$

雖然是反雙曲函數，但我覺得也算雙曲函數的應用。這個公式在常見的手冊上都是可以看到的。

3.換元積分

形如 $\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}$ 的被積函數，除了三角換元外，還可以用 $x=\sinh t$ 、 $x=\cosh t$ 的雙曲代換，如

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\int \frac{\cosh t \mathrm{d}t}{\cosh t}(x=\sinh t)=\mathrm{arsinh}(x)+C$

4.邊值問題的解

直角坐標系中的拉普拉斯方程為

$\frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x^2}+\frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial y^2}+ \frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial z^2}=0$

設 $\varphi$ 可以表示為3個函數的積

$\varphi (x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$

帶入上式得

$\frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}=0$

由於這三項分別是 x,y,z 的函數，因此方程恆成立就要求這三項均為常數。即

$\frac{X''}{X}=\alpha^{2}$

$\frac{Y''}{Y}=\beta^{2}$

$\frac{Z''}{Z}=\gamma^{2}$

當 $\alpha^{2}=0$ 時， $X(x)=a_{0}x+b_{0}$

當 $\alpha^{2}<0$ 時， $X(x)=a_{1}\sin k_{x}x+a_{2}\cos k_{x}x$

而當 $\alpha^{2}>0$ 時，其解即為雙曲函數： $X(x)=c_{1}\sinh k_{x}x+c_{2}\cosh k_{x}x$

九、反雙曲函數簡介

反雙曲函數是雙曲函數的反函數，其推導很簡單：令 $e^{y}=u$ ,解關於的一元二次方程，再取自然對數即得。

$\begin{align} \operatorname{arsinh}\, z &= \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,) \\[2.5ex] \operatorname{arcosh}\, z &= \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,) \\[1.5ex] \operatorname{artanh}\, z &= \tfrac12\ln\left({1+z}\right) - \tfrac12\ln\left({1-z}\right) \\ \operatorname{arcoth}\, z &= \tfrac12\ln\left({1+\frac{1}{z} }\right) - \tfrac12\ln\left({1-\frac{1}{z}}\right) \\ \operatorname{arcsch}\, z &= \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right) \\ \operatorname{arsech}\, z &= \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right) \end{align}$

細心的讀者會注意到反雙曲函數用的符號為ar,而反三角函數用的符號為arc，為什么呢？

因為反三角函數也可以用弧長定義： $\arcsin x$ 就是「正弦值為x的角的弧長」。而反雙曲函數則是用面積定義，表示對應雙曲扇形面積的二倍，用arsh、arch等顯示與其他函數的區別。

arc在英文中有「弧長」的意思，而ar表示area，有「面積」的意思。

十、參考文獻

[1]Inverse trigonometric functions

[2]Inverse hyperbolic function

[3]Hyperbolic function

[4](俄)博亞爾丘克，復變函數[M]，北京，清華大學出版社，2008.5.

[5]同濟大學數學系，高等數學[M]，北京，高等教育出版社，2007.10.

[6]張清，兩無限長平行直導線間電容的精確解[J]，安徽，安徽工業大學學報，2003.1.

[7]徐裕生，反雙曲函數符號的含義[J]，陝西，高等數學研究，1996.3.

編輯於 2018-11-05

免責聲明！

本站轉載的文章為個人學習借鑒使用，本站對版權不負任何法律責任。如果侵犯了您的隱私權益，請聯系本站郵箱yoyou2525@163.com刪除。

猜您在找 雙曲函數與反雙曲函數今天終於看了一下tanh函數的形式，雙曲正切函數三角函數tan、arctan與雙曲函數tanh 學習筆記歐式空間到雙曲空間 Math.random() 函數 mysql 常用math函數 math模塊內置函數 [Math] Maple函數用法 Java的Math常用函數 python中的math函數