《最強大腦》第四季的一期節目中，挑戰者余彬晶挑戰的項目是“分形之美”。這是一個數學推理項目，章子怡女神和不懂球的胖子都一臉迷茫。
分形的概念
分形（Fractal）一詞，是曼德布羅特創造出來的，其原意具有不規則、支離破碎等意義，分形幾何學是一門以非規則幾何形態為研究對象的幾何學。由於不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學。
分形通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀，即具有自相似的性質。”
分形圖無處不在，綿延的海岸線，從遠距離觀察，其形狀是極不規則的，但是從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態相似；一顆參天大樹，它的每一片葉子和枝干，都和主枝顯現出了高度的相似性；一片雪花的每片花瓣都在放大后都顯出了原圖案驚人的相似性。
既然分形圖的每一部分都是整體的縮小，那么很自然地會聯想到自身調用自身的程序。我們嘗試用遞歸去繪制一顆分形樹，下圖是繪制的目標：
極坐標系下的向量旋轉
雖然繪制的目標是二維圖形，但是比起刻度尺來，樹的坐標關系要復雜的多，繼續在直角坐標系下處理就顯得有點笨拙了，此時不妨試試極坐標。
極坐標用向量的長度和角度來表示坐標中的點，一個典型的極坐標如下：
r是向量的長度，φ是向量與x軸逆時針方向的夾角，點t可以用(r,φ)來表示。可以看出，極坐標系仍未脫離原來的直角坐標系，僅僅是將直角坐標系上的點換了一種表示法，如果將點t 轉換成直角坐標系的表示法，那么：
這也是極坐標到直角坐標的轉換公式。
接下來將向量逆時針旋轉θ，得到新的t’點：
t’點的坐標：
樹的主干垂直於x軸，簡單起見，可以讓它附着在y軸上，這相當於φ等於90°：
接下來，把一個稍短的向量r’向左旋轉θ角得到點B，向右旋轉-θ角得到點C：
如此一來可以得到B和C的坐標：
作為樹的枝干，還需要將兩個新向量上移，讓它們以A為起點：
現在得到了樹的兩個枝干以及枝干端點的坐標：
繼續按照上述方法進行下去將會得到更多的枝干：
編寫代碼
知道原理后就可以編寫相關代碼：
1 class Fractal: 2 def __init__(self, fai, theta, depth): 3 ''' 4 分形圖的基礎形狀 5 Attributes： 6 fai： 向量的初始角度 7 theta： 向量每次逆時針旋轉的角 8 depth： 樹的深度， 當depth == 0時停止分形 9 ''' 10 self.fai = fai 11 self.theta = theta 12 self.depth = depth 13 14 def draw(self, ax): 15 def draw_line(x1, y1, fai, depth, ax): 16 if depth == 0: 17 return 18 # 由於np.cos和np.sin使用的參數是弧度，所以需要先把角度轉換成弧度 19 radian = np.radians(fai) 20 # 旋轉后的坐標 21 x2 = x1 + np.cos(radian) * depth 22 y2 = y1 + np.sin(radian) * depth 23 ax.plot([x1, x2], [y1, y2], color='g') 24 draw_line(x2, y2, fai + self.theta, depth - 1, ax) 25 draw_line(x2, y2, fai - self.theta, depth - 1, ax) 26 draw_line(0, 0, self.fai, self.depth, ax) 27 28 if __name__ == '__main__': 29 fig, ax = plt.subplots() 30 plt.axis('off') 31 plt.axis('equal') 32 fractal = Fractal(90, 30, 8) 33 fractal.draw(ax) 34 plt.show()
我們用數的深度表示向量的長度，每一層枝干的長度都比上一層少1，直到深度是0為止。每一層枝干都是由上一層枝干的終點坐標、偏斜角和枝干長度決定的。fai的初始值是90°，用draw_line(0, 0, 90, depth)來畫樹的主干，這樣才能保證主干是附着在y軸上，主干的終點坐標：
弧度和角度的轉換公式是1rad=180°/π，π是無限不循環小散，因此python中這個轉換是不精確的。如果直接運行np.cos(np.radians(90))，不會得到0，而是得到6.123233995736766e-17，這是一個相當小的數，可以當作0處理。
運行結果如下：
可以通過改變初始深度來觀察樹的分型過程：
if __name__ == '__main__': # 觀察分形過程 fig = plt.figure() for i in range(1, 9): ax = fig.add_subplot(3, 3, i) fractal = Fractal(90, 30, i) plt.axis('off') plt.axis('equal') plt.title('depth=' + str(i)) fractal.draw(ax) plt.show()
在繪制depth =1的分形樹時，代碼中plt.axis('equal')這句話是必須的，它將使x軸和y軸的定標系數相同，即單位長度相同。如果將其注釋掉，由於角度和弧度間的不精確轉換，將得到一條斜線：
斜線是根據(0,0)和(6e-17, 1)繪制的。在添上plt.axis('equal')后，這個微小的斜率就可以忽略不計了：
通過改變旋轉角，可以得到一些有趣的分形：
作者：我是8位的
