快速傅立葉變換(FFT)算法

已知多項式f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_m-1x^m-1, g(x)=b₀+b₁x+b₂x²+...+b_n-1x^n-1。利用卷積的蠻力算法，得到h(x)=f(x)g(x)，這一過程的時間復雜度為O(n²)。但是，利用分治策略和插值法來求解h(x)，可以將時間復雜度降低至O(nlogn)，從而大幅提升算法的效率。此求值算法將被應用於FFT算法中。

一、多項式求值

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首先，由lagrange插值法可以知道，對於一個n-1次多項式，只要給定n個不同的點(x_i, y_i)，我們就可以計算出多項式的系數。因此，求解2n-1次多項式系數的問題，可以轉化為多項式對1的復數域中所有2n次方根求值的問題。其中，1在復數域的2n次方根可以表示為

 

設f(x)，g(x)為n-1次多項式，則插值法求多項式h(x)=f(x)g(x)的系數的步驟如下：

1. 選擇2n個不同的值x_j（j=0,1,...,2n-1），求出算f(x_j)，g(x_j)
2. 計算所有h(x_j)=f(x_j)g(x_j)
3. 由於h(x)的次數不高於2n-1，利用lagrange插值公式求出h(x)的系數

在第一步多項式求值過程中，如果用蠻力算法，即直接計算每一個A(w_j)，那么時間復雜度為O(n³)。但事實上，設A_k(x)=a_n-k+a_n-k+1x+...+a_n-1x^k-1，則存在關系：

A_k(x)=a_n-k+xA_k-1(x)

利用這一遞推關系式來求解A(x)=A_n(x)，復雜度可以降低到O(n²)。這比蠻力算法已經有了很大的改進，但有沒有更高效的求值算法呢？

采用分治策略，可以將多項式求值過程的時間復雜度降低至O(nlogn)，從而大幅提升算法的效率。這一算法的思想如下：

設要求值的多項式為A(x)=a₀+a₁x+...+a_n-1x^n-1，不妨設n為偶數，令

A₀(x)=a₀+a₂x+a₄x²+...+a_n-2x^(n-2)/2

A₁(x)=a₁+a₃x+a₅x²+...+a_n-1x^(n-2)/2

則

A(x)=A₀(x²)+xA₁(x²)

值得注意的是，根據復數域2n次單位根的性質，x²並不需要重新計算，只要在單位圓上間隔取值就可以了。下面給出用分治策略為多項式求值的算法偽碼

算法1 Polyval(A, W) //分治策略多項式求值（假設n為偶數）

輸入：n-1次多項式A的系數a₀,a_1,...,a_n-1，以及w₀,w₁,...,w_2n-1

輸出：A(w₀),A(w₁),...,A(w_2n-1)

1. if A的長度=1 return A(W)

2. else do

3.     計算W₁: W[0]²,W[1]²,...,W[2n-1]²

4.     計算A0: A[0],A[2],...A[n-2]

5.     計算A1: A[1],A[3],...A[n-1]

 

6.     A0(W1)←Polyval(A0, W1)

7.     A1(W1)←Polyval(A1, W1)

8.     return A(W)=A0(W1)+W^TA1(W1)

算法的遞推方程為T(n) = 2T(n/2) + f(n), T(1) = O(1)。其中，f(n)為初始時計算所有2n次方根的時間，f(n) = O(n)。根據主定理，得到T(n) = O(nlogn)。

二、快速傅立葉變換

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設f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_n-1x^n-1, g(x)=b₀+b₁x+b₂x²+...+b_n-1x^n-1，h(x)=f(x)g(x)。下面給出FFT算法的偽碼：

算法2 FFT

1. 對x=w_j（j=0,1,...,2n-1），分別計算f(w_j)，g(w_j)

2. 利用步驟1的結果，計算所有d_j=h(wj)

3. 構造多項式D(x)=d₀+d₁x+d₂x²+...+d_2n-1x^2n-1

4. 對x=w_j（j=0,1,...,2n-1），計算D(w_j)

5. 設h(x)的系數為c₀,c₁,...,c_2n-1，則有c₀=D(1)/2n，c_2n-1=D(w₁)/2n，...，c₁=D(w_2n-1)/2n

 不難分析，FFT算法時間復雜度為O(nlogn)。