top k問題

1.top k問題

　　在海量數據處理中，經常會遇到的一類問題：在海量數據中找出出現頻率最高的前k個數，或者從海量數據中找出最大的前k個數，這類問題通常被稱為top K問題。例如，在搜索引擎中，統計搜索最熱門的10個查詢詞；在歌曲庫中統計下載最高的前10首歌等

2.實例

2.1從N個無序數中尋找Top-k個最小數

問題分析

　　針對海量數據的top k問題，這里實現了一種時間復雜度為O(Nlogk)的有效算法：初始時一次性從文件中讀取k個數據，並建立一個有k個數的最大堆，代表目前選出的最小的k個數。然后從文件中一個一個的讀取剩余數據，如果讀取的數據比堆頂元素小，則把堆頂元素替換成當前的數，然后從堆頂向下重新進行堆調整；否則不進行任何操作，繼續讀取下一個數據。直到文件中的所有數據讀取完畢，堆中的k個數就是海量數據中最小的k個數（如果是找最大的k個數，則使用最小堆）

　　對於從海量數據(N)中找出TOP K，這種算法僅需一次性將k個數裝入內存，其余數據從文件一個一個讀即可，不用將海量數據全都一次性讀進內存，所以它是針對海量數據TOP K問題最為有效的算法

代碼實現

#define N 1000000000        //10億
#define K 10000                //1萬

void adjustHeap(vector<int>& nums, int node, int last)//調整完全二叉樹，使得以node節點為根的樹成為大頂堆
{
    int temp = nums[node];
    for (int i = 2 * node + 1; i <= last; i = 2 * i + 1)//沿較大的兒子向下進行調整
    {
        if (i <= last - 1 && nums[i] < nums[i + 1])//比較左兒子和右兒子的大小，讓i指向更大的那個兒子
            ++i;
        if (temp < nums[i])//此處僅僅是賦值，不是交換
        {
            nums[node] = nums[i];
            node = i;
        }
    }
    nums[node] = temp;
}

int main()
{
    vector<int> nums;
    fstream in("file");
    char buf[512] = {0};
    if (!in.is_open())
    {
        cout << "Open file failed!\n";
        exit(1);
    }
    for (int i = 0; i < K; ++i)
    {
        if (!in.eof())
        {
            in.getline(buf, 512);
            nums.push_back(atoi(buf));
        }
    }
    for (int i = nums.size() / 2 - 1; i >= 0; --i)//構建一個大頂堆：遍歷所有的分支節點，從最后一個分支節點開始往前遍歷
        adjustHeap(nums, i, nums.size() - 1);
    while (!in.eof())//讀取剩下的數據
    {
        in.getline(buf, 512);
        int temp = atoi(buf);
        if (temp < nums[0])//讀取的數據比最大堆堆頂元素小
        {
            nums[0] = temp;
            adjustHeap(nums, 0, nums.size() - 1);
        }
    }
    in.close();

    return 0;
}

非海量數據

　　對於非海量數據的情況，還有一種時間復雜度僅為O(N)的經典算法 ——BFPRT算法，受到快速排序的啟發，通過修改快速排序中主元的選取方法可以降低快速排序在最壞情況下的時間復雜度，BFPRT算法解決了這樣一個問題：在時間復雜度O(N)內，從無序的數組中找到第k小的數。顯而易見的是，如果我們找到了第k小的數，那么Top-k個最小數，就在這個數的左邊還有它自己

BFPRT算法步驟

1）選取主元：

　　1.1）將n個元素划分為⌊n/5⌋（向下取整）個組，每組5個元素，若最后一組不夠5個元素，則將最后剩下的元素歸為一組

　　1.2）使用直接插入排序找到每一組的中位數，如果最后一組元素個數為偶數，規定找下中位數

　　1.3）對於（1.2）中找到的所有中位數，再求出它們的中位數，作為主元

2）以1.3種選取的主元為分界點，把小於主元的放在左邊，大於主元的放在右邊

3）判斷主元的位置index與k的大小，有選擇的對左邊或右邊遞歸：

• 如果 index+1=k，則主元就是第k小的數  
• 如果 index+1>k，則去左邊遞歸找第k小的數
• 如果 index+1<k，則去右邊遞歸找第 k-(index+1) 小的數

2.2有一千萬條查詢串，不重復的不超過三百萬，統計最熱門的10條查詢串（內存1G. 字符串長 0-255）

　　不重復的三百萬條字符串的所占最大空間為：256x300x10⁴/1024/1024/1024=0.715G，建立一個map一個一個讀取一千萬條查詢串，統計出現次數，最后將存下三百萬條不重復的串和對應的出現次數，此時再從map里取10條查詢串以出現次數建立一個大小為10的最小堆，再遍歷map中剩下的查詢串，依次與最小堆堆頂元素的出現次數作比較，若次數大於堆頂元素，則把堆頂元素替換成當前的串，然后從堆頂向下重新進行堆調整；否則不進行任何操作，繼續讀取下一個查詢串，直到文件中的所有數據讀取完畢，堆中的10條串就是最熱門的10條查詢串，時間復雜度 O(Nlog10)

2.3給定a、b兩個文件，各存放50億個url，每個url各占64字節，內存限制是4G，讓你找出a、b文件共同的url？

方案1：

　　可以估計每個文件的大小約為50x10⁸x64/1000/1000/1000=320G（1G約等於10億字節），遠遠大於內存限制的4G。所以不可能將其完全加載到內存中處理，考慮采取分治法。

　　遍歷文件a，對每個url求取哈希值再對1000取余，然后根據所取得的值（0~999）將url分別存儲到1000個小文件（記為）中。這樣每個小文件的大約為320M。遍歷文件b，采取和a相同的哈希算法將url分別存儲到1000各小文件（記為）。這樣處理后，所有可能相同的url都在對應的小文件（）中，不對應的小文件不可能有相同的url。然后我們只要求出1000對小文件中相同的url即可。

　　求每對小文件中相同的url時，可以把其中一個小文件的url存儲到set中。然后遍歷另一個小文件的每個url，看其是否在剛才構建的set中，如果是，那么就是共同的url，存到文件里面，上述過程重復1000遍即可。

方案2：

　　如果允許有一定的錯誤率，可以使用Bloom Filter，4G內存大概可以表示340億bit。將其中一個文件中的url使用Bloom filter映射為這340億bit，然后挨個讀取另外一個文件的url，檢查是否與Bloom filter，如果是，那么該url應該是共同的url（注意會有一定的錯誤率）。

2.4. 有10個文件，每個文件1G，每個文件的每一行存放的都是用戶的query，每個文件的query都可能重復。要求你按照query的頻度排序

方案1：

　　若內存不夠存儲所有不重復的query，則按順序讀取10個文件，按照hash(query)%10的結果將query寫入到另外10個文件（記為）中。這樣新生成的文件每個的大小大約也1G（假設hash函數是隨機的），相同query進入了同一個小文件。

　　找一台內存在2G左右的機器，依次對用hash_map(query, query_count)來統計每個query出現的次數。利用快速/堆/歸並排序按照出現次數進行排序。將排序好的query和對應的query_cout輸出到文件中。這樣得到了10個排好序的文件（記為）。

　　對這10個文件進行歸並排序（內排序與外排序相結合）。

方案2：

　　一般query的總量是有限的，只是重復的次數比較多而已，可能對於所有的query，一次性就可以加入到內存了。這樣，我們就可以采用trie樹/hash_map等直接來統計每個query出現的次數，然后按出現次數做快速/堆/歸並排序就可以了。

方案3：

　　與方案1類似，但在做完hash，分成多個文件后，可以交給多個文件來處理，采用分布式的架構來處理（比如MapReduce），最后再進行合並。

2.3有一個1G大小的一個文件，里面每一行是一個詞，詞的大小不超過16字節，內存限制大小是1M。返回頻數最高的100個詞

方案1：

　　順序讀文件中，對於每個詞x，取，然后按照該值存到5000個小文件（記為）中，相同的詞進入同一個文件。這樣每個文件大概是200k左右。如果其中的有的文件超過了1M大小，還可以按照類似的方法繼續往下分，知道分解得到的小文件的大小都不超過1M。對每個小文件，采用trie樹或hash_map統計每個文件中出現的詞以及相應的頻率，再用容量為100的最小堆並取出出現頻率最大的100個詞，並把100詞及相應的頻率存入文件，這樣又得到了5000個文件。最后用容量為100的最小堆，依次遍歷每個文件，獲得最終頻數最高的100個詞。

2.4. 海量日志數據，提取出某日訪問百度次數最多的那個IP

方案1：

　　首先是這一天，並且是訪問百度的日志中的IP取出來，逐個寫入到一個大文件中。注意到IP是32位的，最多有個IP。同樣可以采用先哈希再取模的方法，比如模1000，把整個大文件映射為1000個小文件，再找出每個小文中出現頻率最大的IP（可以采用hash_map進行頻率統計，然后再找出頻率最大的幾個）及相應的頻率。然后再在這1000個最大的IP中，找出那個頻率最大的IP，即為所求。

2.5海量數據分布在100台電腦中，想個辦法統計出這批數據的TOP10

方案1：

　　在每台電腦上求出TOP10，可以采用包含10個元素的堆完成（TOP10小，用最大堆，TOP10大，用最小堆）。比如求TOP10大，我們首先取前10個元素調整成最小堆，如果發現，然后掃描后面的數據，並與堆頂元素比較，如果比堆頂元素大，那么用該元素替換堆頂，然后再調整為最小堆。最后堆中的元素就是TOP10大。

求出每台電腦上的TOP10后，然后把這100台電腦上的TOP10組合起來，共1000個數據，再利用上面類似的方法求出TOP10就可以了。

2.6怎么在海量數據中找出重復次數最多的一個？

方案1：

　　先做hash，然后求模映射為小文件，求出每個小文件中重復次數最多的一個，並記錄重復次數。然后找出上一步求出的數據中重復次數最多的一個就是所求（具體參考前面的題）。

2.7一萬字符串，其中有些是重復的，需要把重復的全部去掉，保留沒有重復的字符串。請怎么設計和實現？

方案1：

　　這題用trie樹比較合適，hash_map也應該能行。

 

 

 

10. 一個文本文件，大約有一萬行，每行一個詞，要求統計出其中最頻繁出現的前10個詞，請給出思想，給出時間復雜度分析。

方案1：這題是考慮時間效率。用trie樹統計每個詞出現的次數，時間復雜度是O(n*le)（le表示單詞的平准長度）。然后是找出出現最頻繁的前10個詞，可以用堆來實現，前面的題中已經講到了，時間復雜度是O(n*lg10)。所以總的時間復雜度，是O(n*le)與O(n*lg10)中較大的哪一個。

11. 一個文本文件，找出前10個經常出現的詞，但這次文件比較長，說是上億行或十億行，總之無法一次讀入內存，問最優解。

方案1：首先根據用hash並求模，將文件分解為多個小文件，對於單個文件利用上題的方法求出每個文件件中10個最常出現的詞。然后再進行歸並處理，找出最終的10個最常出現的詞。

12. 100w個數中找出最大的100個數。

方案1：在前面的題中，我們已經提到了，用一個含100個元素的最小堆完成。復雜度為O(100w*lg100)。

方案2：采用快速排序的思想，每次分割之后只考慮比軸大的一部分，知道比軸大的一部分在比100多的時候，采用傳統排序算法排序，取前100個。復雜度為O(100w*100)。

方案3：采用局部淘汰法。選取前100個元素，並排序，記為序列L。然后一次掃描剩余的元素x，與排好序的100個元素中最小的元素比，如果比這個最小的要大，那么把這個最小的元素刪除，並把x利用插入排序的思想，插入到序列L中。依次循環，知道掃描了所有的元素。復雜度為O(100w*100)。

14. 一共有N個機器，每個機器上有N個數。每個機器最多存O(N)個數並對它們操作。如何找到個數中的中數？

方案1：先大體估計一下這些數的范圍，比如這里假設這些數都是32位無符號整數（共有個）。我們把0到的整數划分為N個范圍段，每個段包含個整數。比如，第一個段位0到，第二段為到，…，第N個段為到。然后，掃描每個機器上的N個數，把屬於第一個區段的數放到第一個機器上，屬於第二個區段的數放到第二個機器上，…，屬於第N個區段的數放到第N個機器上。注意這個過程每個機器上存儲的數應該是O(N)的。下面我們依次統計每個機器上數的個數，一次累加，直到找到第k個機器，在該機器上累加的數大於或等於，而在第k-1個機器上的累加數小於，並把這個數記為x。那么我們要找的中位數在第k個機器中，排在第位。然后我們對第k個機器的數排序，並找出第個數，即為所求的中位數。復雜度是的。

方案2：先對每台機器上的數進行排序。排好序后，我們采用歸並排序的思想，將這N個機器上的數歸並起來得到最終的排序。找到第個便是所求。復雜度是的。

15. 最大間隙問題

給定n個實數，求着n個實數在實軸上向量2個數之間的最大差值，要求線性的時間算法。

方案1：最先想到的方法就是先對這n個數據進行排序，然后一遍掃描即可確定相鄰的最大間隙。但該方法不能滿足線性時間的要求。故采取如下方法：

s 找到n個數據中最大和最小數據max和min。

s 用n-2個點等分區間[min, max]，即將[min, max]等分為n-1個區間（前閉后開區間），將這些區間看作桶，編號為，且桶的上界和桶i+1的下屆相同，即每個桶的大小相同。每個桶的大小為：。實際上，這些桶的邊界構成了一個等差數列（首項為min，公差為），且認為將min放入第一個桶，將max放入第n-1個桶。

s 將n個數放入n-1個桶中：將每個元素分配到某個桶（編號為index），其中，並求出分到每個桶的最大最小數據。

s 最大間隙：除最大最小數據max和min以外的n-2個數據放入n-1個桶中，由抽屜原理可知至少有一個桶是空的，又因為每個桶的大小相同，所以最大間隙不會在同一桶中出現，一定是某個桶的上界和氣候某個桶的下界之間隙，且該量筒之間的桶（即便好在該連個便好之間的桶）一定是空桶。也就是說，最大間隙在桶i的上界和桶j的下界之間產生。一遍掃描即可完成。

16. 將多個集合合並成沒有交集的集合：給定一個字符串的集合，格式如：。要求將其中交集不為空的集合合並，要求合並完成的集合之間無交集，例如上例應輸出。

(1) 請描述你解決這個問題的思路；

(2) 給出主要的處理流程，算法，以及算法的復雜度；

(3) 請描述可能的改進。

方案1：采用並查集。首先所有的字符串都在單獨的並查集中。然后依掃描每個集合，順序合並將兩個相鄰元素合並。例如，對於，首先查看aaa和bbb是否在同一個並查集中，如果不在，那么把它們所在的並查集合並，然后再看bbb和ccc是否在同一個並查集中，如果不在，那么也把它們所在的並查集合並。接下來再掃描其他的集合，當所有的集合都掃描完了，並查集代表的集合便是所求。復雜度應該是O(NlgN)的。改進的話，首先可以記錄每個節點的根結點，改進查詢。合並的時候，可以把大的和小的進行合，這樣也減少復雜度。

17. 最大子序列與最大子矩陣問題

數組的最大子序列問題：給定一個數組，其中元素有正，也有負，找出其中一個連續子序列，使和最大。

方案1：這個問題可以動態規划的思想解決。設表示以第i個元素結尾的最大子序列，那么顯然。基於這一點可以很快用代碼實現。

最大子矩陣問題：給定一個矩陣（二維數組），其中數據有大有小，請找一個子矩陣，使得子矩陣的和最大，並輸出這個和。

方案1：可以采用與最大子序列類似的思想來解決。如果我們確定了選擇第i列和第j列之間的元素，那么在這個范圍內，其實就是一個最大子序列問題。如何確定第i列和第j列可以詞用暴搜的方法進行。代碼詳見我的博客。