Link-Cut-Tree實際靠的是實鏈剖分，重鏈剖分和長鏈剖分珂以參考樹鏈剖分詳解
Link-Cut-Tree將某一個兒子的連邊划分為實邊，而連向其他子樹的邊划分為虛邊
區別在於虛實是可以動態變化的，因此要使用更高級、更靈活的Splay來維護每一條由若干實邊連接而成的實鏈
請先學習Splay之后再閱讀本文
Link-Cut-Tree功能強大，能維護以下東西：
-
查詢、修改鏈上的信息（最值，總和等）
-
隨意指定原樹的根（即換根）
-
動態連邊、刪邊
-
動態維護連通性
-
更多毒瘤操作
Link-Cut-Tree的性質
1.每一個Splay維護的是一條從上到下按在原樹中深度嚴格遞增的路徑，且中序遍歷Splay得到的每個點的深度序列嚴格遞增
2.每個節點包含且僅包含於一個Splay中
3.邊分為實邊和虛邊，實邊包含在Splay中，而虛邊總是由一棵Splay指向另一個節點（指向該Splay中中序遍歷最靠前的點在原樹中的父親）
因為性質2，當某點在原樹中有多個兒子時，只能向其中一個兒子拉一條實鏈（只認一個兒子），而其它兒子是不能在這個Splay中的
那么為了保持樹的形狀，我們要讓到其它兒子的邊變為虛邊，由對應兒子所屬的Splay的根節點的父親指向該點，而從該點並不能直接訪問該兒子（認父不認子）
一、access
是Link-Cut-Tree的核心操作也是最難理解的操作
假設有一珂樹，有一棵樹，一開始實邊和虛邊是這樣划分的（虛線為虛邊）
那么所構成的LCT可能會長這樣（綠框中為一個Splay，可能不會長這樣，但只要滿足中序遍歷按深度遞增（性質1）就對結果無影響）
現在我們要access(N)，把A~N的路徑拉起來變成一條Splay
因為性質2，該路徑上其它鏈都要給這條鏈讓路，也就是把每個點到該路徑以外的實邊變虛
所以我們希望虛實邊重新划分成這樣
那么如何實現這個過程呢？
首先把splay(N)，使之成為當前Splay中的根
為了滿足性質2，原來N~O的重邊要變輕
因為按深度O在N的下面，在Splay中O在N的右子樹中，所以直接單方面將N的右兒子置為0（認父不認子）
然后就變成了這樣——
我們接着把N所屬Splay的虛邊指向的I（在原樹上是L的父親）也轉到它所屬Splay的根，splay(I)
原來在I下方的重邊I~K要變輕（同樣是將右兒子去掉）
這時候I~L就可以變重了。因為L肯定是在I下方的（剛才L所屬Splay指向了I），所以I的右兒子置為N，滿足性質1。
或許看了這些聰明的你就能發現規律
剩下的步驟自己腦補
想使一個點到根之間的路徑在同一個Splay中只需要循環執行以下操作：
1.轉到根
2.換兒子
3.跟新
4.當前操作點切換為輕邊所指的父親
inline void pushup(register int x)
{
xr[x]=xr[c[x][0]]^xr[c[x][1]]^val[x];
}
inline void pushdown(register int x){
if(rev[x])
{
register int l=c[x][0],r=c[x][1];
rev[l]^=1,rev[r]^=1,rev[x]^=1;
Swap(c[x][0],c[x][1]);
}
}
inline bool isroot(register int x)
{
return c[fa[x]][0]!=x&&c[fa[x]][1]!=x;
}
inline void rotate(register int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
l=c[y][0]==x?0:1;
r=l^1;
if(!isroot(y))
c[z][c[z][0]==y?0:1]=x;
fa[x]=z;
fa[y]=x;
fa[c[x][r]]=y;
c[y][l]=c[x][r];
c[x][r]=y;
pushup(y),pushup(x);
}
inline void splay(register int x)
{
top=1;
q[top]=x;
for(register int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
q[++top]=fa[i];
for(register int i=top;i;--i)
pushdown(q[i]);
while(!isroot(x))
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if(!isroot(y))
rotate((c[y][0]==x)^(c[z][0]==y)?(x):(y));
rotate(x);
}
}
inline void access(register int x)
{
for(register int t=0;x;t=x,x=fa[x])
{
splay(x);
c[x][1]=t;
pushup(x);
}
}
pushdown就跟懶標記差不多（珂以先不看）
二、makeroot
makeroot定義為換根，讓指定點成為原樹的根
這時候就利用到access(x)和Splay的翻轉操作
access(x)后x在Splay中一定是深度最大的點。
splay(x)后，x在Splay中將沒有右子樹（性質1）。於是翻轉整個Splay，使得所有點的深度都倒過來了，x沒了左子樹，反倒成了深度最小的點（根節點），達到了我們的目的
inline void makeroot(register int x)
{
access(x);
splay(x);
rev[x]^=1;
}
三、findroot
找x所在原樹的樹根，主要用來判斷兩點之間的連通性（findroot(x)==findroot(y)表明x,y在同一棵樹中）
inline int findroot(register int x)
{
access(x);
splay(x);
while(c[x][0])
x=c[x][0];
return x;
}
四、link
在x,y兩點之間連邊
只在保證題目數據合法的情況下才能使用（不一定合法的話先要判聯通（findroot））
inline void link(register int x,register int y)
{
makeroot(x);
fa[x]=y;
}
五、cut
將x,y之間的邊切斷
inline void split(register int x,register int y)
{
makeroot(x);
access(y);
splay(y);
}
inline void cut(register int x,register int y)
{
split(x,y);
if(c[y][0]==x)
{
c[y][0]=0;
fa[x]=0;
}
}
完整代碼
#include <bits/stdc++.h>
#define N 300005
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
inline void write(register int x)
{
if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
static int sta[20];register int tot=0;
while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
inline void Swap(register int &a,register int &b)
{
a^=b^=a^=b;
}
int n,m,val[N];
struct Link_Cut_Tree{
int c[N][2],fa[N],top,q[N],xr[N],rev[N];
inline void pushup(register int x)
{
xr[x]=xr[c[x][0]]^xr[c[x][1]]^val[x];
}
inline void pushdown(register int x){
if(rev[x])
{
register int l=c[x][0],r=c[x][1];
rev[l]^=1,rev[r]^=1,rev[x]^=1;
Swap(c[x][0],c[x][1]);
}
}
inline bool isroot(register int x)
{
return c[fa[x]][0]!=x&&c[fa[x]][1]!=x;
}
inline void rotate(register int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
l=c[y][0]==x?0:1;
r=l^1;
if(!isroot(y))
c[z][c[z][0]==y?0:1]=x;
fa[x]=z;
fa[y]=x;
fa[c[x][r]]=y;
c[y][l]=c[x][r];
c[x][r]=y;
pushup(y),pushup(x);
}
inline void splay(register int x)
{
top=1;
q[top]=x;
for(register int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
q[++top]=fa[i];
for(register int i=top;i;--i)
pushdown(q[i]);
while(!isroot(x))
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if(!isroot(y))
rotate((c[y][0]==x)^(c[z][0]==y)?(x):(y));
rotate(x);
}
}
inline void access(register int x)
{
for(register int t=0;x;t=x,x=fa[x])
{
splay(x);
c[x][1]=t;
pushup(x);
}
}
inline void makeroot(register int x)
{
access(x);
splay(x);
rev[x]^=1;
}
inline int findroot(register int x)
{
access(x);
splay(x);
while(c[x][0])
x=c[x][0];
return x;
}
inline void split(register int x,register int y)
{
makeroot(x);
access(y);
splay(y);
}
inline void cut(register int x,register int y)
{
split(x,y);
if(c[y][0]==x)
{
c[y][0]=0;
fa[x]=0;
}
}
inline void link(register int x,register int y)
{
makeroot(x);
fa[x]=y;
}
}T;
int main()
{
n=read(),m=read();
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
val[i]=read();
T.xr[i]=val[i];
}
while(m--)
{
int opt=read();
if(opt==0)
{
int x=read(),y=read();
T.split(x,y);
write(T.xr[y]),puts("");
}
else if(opt==1)
{
int x=read(),y=read();
if(T.findroot(x)!=T.findroot(y))
T.link(x,y);
}
else if(opt==2)
{
int x=read(),y=read();
T.cut(x,y);
}
else
{
int x=read(),y=read();
T.access(x);
T.splay(x);
val[x]=y;
T.pushup(x);
}
}
return 0;
}
