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《從零開始PYTHON3》第十二講
上一節課我們主要講解了數值計算和符號計算。數值計算的結果，很常用的目的之一就是用於繪制圖像，從圖像中尋找公式的更多內在規律。
Python科學繪圖
科學繪圖是計算機圖形學的一個重要分支。同其它繪圖方式相比，更簡單易用，能讓使用者把工作的主要精力集注在公式和算法上而不是繪圖本身。此外科學繪圖的工具包普遍精度更高，數據、圖的對應關系准確，從而保證基於圖的研究工作順利進行。最后，科技繪圖一般都使用同數學相同的坐標系，避免了不必要的數據轉換。
常用的一個高質量科學繪圖包是第三方出品的MatplotLib，安裝方式跟其它擴展庫相同（這里只示例基於Windows環境的安裝）：
#首先使用管理員模式執行cmd命令行，隨后在命令行執行：
pip install matplotlib #某些系統需要使用pip3
所有的繪圖，無論是基於顯示器還是打印機（繪圖儀），都可以看做一個寬*高的二維矩陣。這就產生了一個坐標系統，那么矩陣中的任意一個點，就會有坐標(x,y)，x代表橫方向坐標，y軸代表縱向坐標。
三維的游戲、VR等應用，在計算的整個過程中使用的是x、y、z三維坐標體系，但最后繪制到屏幕上的時候，還是會根據透視縮放的映射關系，將圖像投影到二維矩陣中。
那么一副圖像，就是有很多個點組成的，每個點都有其x,y的坐標。如果組成一個列表，通常是[[x1,y1],[x2,y2],[x3,y3]]這樣的形式，比如剛才這個例子就代表了3個點的列表。如果是一條線，則可以用[[x1,y1],[x2,y2]]兩個點來描述，這兩個點就是一條線的兩個端點坐標。
在我們今天講的數學繪圖中，通常使用的是另外一種坐標表示方法。科學繪圖會使用x坐標點的列表和y坐標點的列表，兩個列表來描述一組點。比如：[x1,x2,x3],[y1,y2,y3]。
即便只有一個點，也要把x坐標和y坐標分開到兩個列表中去，此時列表就成為只有一個元素的列表，[x],[y]。
使用這種數據結構的原因是這樣的，比如我們試圖繪制函數：
的圖像。通常的情況我們首先是有一列的x值，那么通過函數計算之后，組成的就是一個結果y的列表。
因此事實上，為函數繪制圖像，我們不大可能跟傳統圖像一樣，上來就有一個完整的坐標點列表，而只能是x、y兩個列表。列表中相同下標的值，是對應的x、y坐標，而y坐標的值，來自於上面所示函數對於x列表的計算結果。以一個3坐標的列表為例，大致是[x1,x2,x3],[y1,y2,y3]這樣的形式。
言語總是枯燥無味的，讓我們來看一段代碼，用於繪制一副正弦函數圖：
#繪制正弦曲線
#引入數值計算庫,改為短名稱
import numpy as np
#引入繪圖庫，改為短名稱
import matplotlib.pyplot as plt
#生成一個由-4到4、均分為200個元素的列表
x = np.linspace(-4, 4, 200)
#計算當x取值范圍-4至4時所有的sin函數解
f = np.sin(x)
#繪制
plt.plot(x, f, 'red')
#將繪制好的圖顯示出來
plt.show()
有幾條命令再更詳細的解釋一下：
- np.linspace函數我們在講數值計算的時候學過，是生成一個200個元素的列表，這個列表是numpy庫的列表類型，跟python內置的列表是基本兼容的，但並不是同一種類型。這200個元素均分了從-4到+4的值范圍，包含了-4/+4本身。
- np.sin(x)，看起來跟內置的math.sin(x)很像，事實上當x是一個數字變量的時候，兩者完全相同。但在這里，x是一個列表，包含200個元素。那兩者就完全不同了。內置的math.sin一次調用只能處理一個數字。np.sin是一次處理整個數組。因此調用完成后，結果f中是包含了200個值，每個相同下標的值，是對應x列表中對應下標值的正弦函數結果值。所以f在這里實際就是y坐標的值。
- 終於看到了plt.plot函數，里面有三個參數，x是x坐標列表，本例中包含了200個元素，f實際是y軸坐標列表，也包含了200個元素，最后的'red'表示使用紅色繪制。此函數在繪制這個數組的時候，每兩個點之間，默認會使用直線連接上，從而讓整體上形成一條平滑的曲線。
- 最后plt.show()是把繪制好的圖形顯示出來，此語句之后的繪圖將被忽略掉，所以請確保這一條語句是所有plt調用的最后一句。
繪制的結果請看下圖。
干凈漂亮的正弦曲線出現了！
Python的學習一定要多動手練習，所以請自己也來來試試繪制過程。比如改變參數范圍從-10到+10，比如把200個列表元素改成只有10個，看看是什么效果？
我們繼續為這個畫面做一些輔助性的補充。請把下面的代碼加到plt.show()語句之前：
#為某條曲線增加注釋文字
plt.text(1.3, 0.9, 'sin(x)',color='b')
#為整個圖增加標題
plt.title('y=f(x)', fontsize=16)
只加了兩行代碼。第一行代碼是在畫面中增加注釋性的文字，其實只有一條曲線意義並不大。但多條曲線，如果沒有注釋的文字，看起來就很困難了。第一行代碼里面，頭兩個參數是坐標，表示注釋文字出現的起始位置，這個坐標的單位就是正弦曲線的數學值，這一點，在其它繪圖系統中都是要做很復雜的變換才能搞的定，在這里直接用就好了；第三個參數是顯示的文字；第四個參數“b”代表blue,意思是用藍色顯示注釋文字，這是想告訴你，其實前面的“red”,一樣可以簡寫成“r”。
第二行代碼視為整個畫面增加一個標題，標題會顯示在圖片的上方中間的位置，第二個參數給了個字體尺寸，其實第二個參數可以沒有，那樣的話會自動給出一個適合標題的尺寸，一般都適於大多數情況使用。
有一點需要注意，畫面中的注釋文字，和標題，都不能直接支持中文。通常國外的軟件，或多或少支持其它語言文字都有小問題。解決也並不難，就是需要指定使用中文的字體，這個超出了本課程的范圍，有興趣了解的可以參考教學資源包中的demo.py程序，注意字體的設置，是跟操作系統相關的，不具備可移植性。
上圖是增加了注釋文字和標題之后的效果。你可能注意到了，圖片窗口中有菜單是可以直接保存圖片的。這樣的圖片直接引用到論文中效果一流。
科學繪圖庫我們使用了已經內置的正弦函數作為示例開始，這樣為了降低使用的難度，專注解釋繪圖操作的機理。
在實際應用中，要繪制的通常都是很復雜的數學公式，這時候前面講過的數學內容就用得上了。建議你自己定義一個函數，把復雜的公式，使用Python描述出來。注意因為要繪圖，所以通常都是需要使用數值計算庫而不是符號計算庫。
下面我們舉一個例子，簡單起見，我們只使用最簡單的直線公式(僅為示例，單純畫直線有很多更好的辦法)：
#繪制直線
#引入數值計算庫
import numpy as np
#引入繪圖庫
import matplotlib.pyplot as plt
#定義一個直線函數
def line(x,a,b):
return a*x+b
#我們用於示例，定義的函數沒有計算數組的功能
x1=-4
y1=line(x1,0.2,0)
x2=4
y2=line(x2,0.2,0)
#繪制直線，只需要兩個端點
plt.plot([x1,x2],[y1,y2],'r')
#增加注釋文字
plt.text(-3.9, -0.8, '0.2*x',color='r')
#為整個圖增加標題
plt.title('y=ax+b', fontsize=16)
#將繪制好的圖顯示出來
plt.show()
整體的程序結構跟上面畫正弦函數的幾乎相同。區別有兩點，1是使用自定義的函數替代np.sin函數；2是計算的時候，因為我們自己定義的函數不支持數組運算，所以自己要逐次計算每個點。好在是直線，只要計算兩個點就成了。
此外有一點要說明的，我們前面其實提到過，plt.plot函數，會自動連接每個點，使得整體成為連貫的線條，所以這個繪圖示例的結果，我們給出兩個點，最終得到了一條線。下面是運行結果:
一個小思考題，排除這個直線函數。如果我們自己定義的函數式曲線，那肯定還是需要自己定義的Python函數，除了實現函數的計算，還要能實現數組的計算比較合理，這應當如何做呢？最好能用自己定義的函數來說明一下，或者用偽代碼來描述一下也可以接受。
科技繪圖部分的最后，推薦去官方網站看一看經典的“繪圖畫廊”，都是使用MatplotLab繪制的，都附有源代碼，而且程序還都不算長，相信會讓你很有收獲。多說一句，Python的內置函數和第三方函數總量浩如煙海，你看別人程序的時候肯定會碰到很多不理解的函數或者關鍵字，基本的語法我們都已經學過了，這些不明白的內容求助搜索引擎，一定能讓你快速的找到答案。
海龜繪圖
今天一開始講的科學繪圖工具包非常強大。Python也內置了一套簡單易用的繪圖包，名字是海龜繪圖，庫名為：turtle，內置庫無需安裝，直接在程序一開始引用就可以了。
海龜繪圖是在上世紀90年代非常流行的一套兒童繪圖工具包，曾經風靡一時，但可惜在當今各種高級工具層出不窮的情況下，已經比較沒落了。
但我的感覺是對於初學者，還是有很多參考意義，所以下面的內容，着重了解和動手嘗試，對於具體的內容，有興趣當然可以學習，興趣不足的，練練手就好了，不要求你重點記憶。
海龜繪圖的基本理念是這樣：想象沙灘上有只小海龜。它只會向前走、轉向等簡單的動作，它在沙灘上爬行所留下的軌跡就是繪制出的圖形（其實繪圖命令中還有抬起畫筆、放下畫筆等操作，有興趣的使用help(turtle)可以查看完整幫助）。
這種模式很適合使用循環語句繪制螺旋線等規律幾何結構，如果設計得當，可以得到很多炫目的幾何圖形。我們來看幾個例子：
#海龜繪圖演示
#引入海龜繪圖庫
import turtle
#建立一支筆（一只海龜）
t = turtle.Pen()
for x in range(100):
#向前走x步
t.forward(x)
#左轉90度
t.left(90)
turtle.done()
上面就是在第一講中我們介紹過的圖形，繪制結果為：
換一個算法再看看：
#海龜繪圖演示
#引入海龜繪圖庫
import turtle
#建立一支筆（一只海龜）
t = turtle.Pen()
t.pencolor('red')
for x in range(100):
#向前走x步
t.forward(x)
#左轉90度
t.left(95)
turtle.done()
注意這個程序中有了設置畫筆顏色的語句。下面是繪制結果：
除了設置畫筆的顏色，還可以設置畫筆所封閉的區域中的填充顏色，請看這個例子和執行的結果：
#引入繪圖庫
from turtle import *
#設置筆的顏色和填充顏色
color('red', 'yellow')
#開始填充
begin_fill()
while True:
forward(200)
left(170)
#pos是當前海龜坐標
#abs(pos())表示判斷如果
# 海龜回到原點附近則停止
if abs(pos()) < 1:
break
#結束填充
end_fill()
done()
這些例子中，基本都使用了循環結構，希望你還記得循環的語法、邊界條件、循環體這些概念，並以此讀懂這些例子的原理。
在上面最后的例子中，有一些需要補充的。pos()返回當前小海龜的位置(x,y),是以數學復數的方式返回的。復數不在我們學習計划內，所以這部分內容了解即可，大致原理：abs(pos())實際是計算sqrt(x * 2+y * 2)，也既當前坐標到原點的直線距離。所以上面例子中，使用這個方法來判斷小海龜畫筆，回到了原點附近，表示整個曲線繪制完整、並且頭尾連貫、閉合了。因為只有閉合的區域，才可能填充顏色。
本節課總體上都是很輕松愉悅的。相信你經過前面艱苦的學習，已經嘗到了收獲的滋味，我們也到了收獲的季節。娛樂起見，我們再提供一個網上轉帖的海龜繪圖程序，用於繪制小豬佩奇（程序比較長，請直接參考paige.py，此處感謝原作者）：
小豬佩奇的程序中，使用了很多海龜繪圖的縮寫功能，比如forward向前走命令可以縮寫為fd，向左轉命令left可以縮寫為lt。這些在help(turtle)文檔中都能查到。縮寫只是為了編寫程序時候的方便，功能是完全一樣的。
除了前面講過的規則幾何圖案，想繪制這種定制的圖形，通常都需要使用“坐標紙”，現在除了上淘寶，估計平常的商店都買不到了。然后把想繪制的圖形描繪在坐標紙上，從而獲得每個點的准確坐標。接下來就可以利用這些坐標，利用抬筆、移動坐標、落筆的功能，繪制定制的圖形了。
不過可惜啊，現在有了Photoshop之類的軟件，像坐標紙描格子的過程，都足以在屏幕上繪制完成了，完全不需要編程的知識。這也是海龜繪圖逐漸沒落的原因。
練習時間
1.請繪制下面函數的圖像：
這里解釋一下：
- y是兩個公式，用逗號隔開，表示取值是兩個，程序中應當分別計算，得到兩組值
- x取值空間建議：-2至2
- 根號函數：numpy.sqrt()，絕對值：numpy.fabs()
- 平方：numpy.square(),同**2的區別，后者只計算一個值，前者計算整個列表
- 其它函數：numpy.arccos,常量π:numpy.pi
2.海龜繪圖的練習，其實在第一講的時候我們練習過一些了，現在學習了這么多，再來試試吧
A.修改前面例程的簡單參數，構建有趣的規則幾何圖形
B.開動腦筋，重新編程，繪制一副更有創意的圖形
本講小結
- 圖形、圖像是計算機科學中重要的組成部分
- 科技繪圖用途廣泛，也是理工學習中必須用到的內容
- 海龜繪圖簡單有趣，能顯示繪圖過程，適合簡單創意性的場合
練習答案
1.課程中的思考題，在自定義函數中，應當使用循環，遍歷參數的所有元素，逐個代入數學公式中計算，得到的結果逐個加入已經預先定義好的空列表中，最終返回這個完整的列表。程序代碼略。
2.請參考ex1.py程序
3.海龜繪圖練習略