三元環是一個不怎么常見的黑科技，它的求解方法是一種基於分塊思想的方法，比較簡單好寫，在這里介紹一下三元環的計數方法及正確性與時間復雜度證明。
對於一個$n$個點$m$條邊的無向圖，三元環是指對於圖上的三個點，兩兩點之間都直接有邊相連，這三個點組成的環就是三元環。
三元環的計數方法：記錄圖中每個點的度數，對於每條邊將它定向。對於一條邊，將度數大的點指向度數小的點，如果度數相同就將編號小的點指向編號大的點。計數時枚舉每個點，對於每個點$x$枚舉它的出邊，並將出邊指向的點$y$打標記，對於所有出邊指向的點$y$再枚舉出邊，如果這個出邊指向的點$z$被打了標記，那么$x,y,z$就組成了一個三元環。時間復雜度為$O(m\sqrt{m})$。
對於這個方法只需要證明三點：
1、將邊定向后的圖是有向無環圖($DAG$)
這個很好證明，因為按照上述定向規則，我們稱$x$連向$y$表示$x$比$y$大，那么任意兩個點的大小關系是固定的，每個點只會向比它小的點連邊，所以一定構成了有向無環圖。
2、每個三元環只會被統計一次
如圖所示，因為三元環上的邊是定向的，而且每個點只會枚舉出邊，所以每個三元環被統計的情況是唯一的。
3、時間復雜度為$O(m\sqrt{m})$
考慮時間復雜度分為兩部分：一部分為每個點枚舉出邊，另一部分為每個出邊指向的點枚舉出邊。
第一部分時間復雜度顯然為$O(n+m)$，而第二部分我們分類討論：
如果一個點的出度大於$\sqrt{m}$，指向它的點出度一定要比它大，這樣的點最多$\sqrt{m}$個，時間復雜度為$O(m\sqrt{m})$
如果一個點的出度小於$\sqrt{m}$，指向他的點最多有$n$個，時間復雜度為$O(n\sqrt{m})$
綜上所述，時間復雜度為$O(m\sqrt{m})$
三元環的題只找到了三道：