Alias Method解決隨機類型概率問題（別名算法）

舉個例子，游戲中玩家推倒了一個boss，會按如下概率掉落物品：10%掉武器 20%掉飾品 30%掉戒指 40%掉披風。現在要給出下一個掉落的物品類型，或者說一個掉落的隨機序列，要求符合上述概率。

一般人會想到的兩種解法

第一種算法，構造一個容量為100(或其他)的數組，將其中10個元素填充為類型1（武器），20個元素填充為類型2（飾品）...構造完畢之后，在1到100之間取隨機數rand，取到的array[rand]對應的值，即為隨機到的類型。這種方法優點是實現簡單，構造完成之后生成隨機類型的時間復雜度就是O(1)，缺點是精度不夠高，占用空間大，尤其是在類型很多的時候。

第二種就是一般的離散算法，通過概率分布構造幾個點，[10, 30, 60, 100]，沒錯，后面的值就是前面依次累加的概率之和（是不是像斐波那契數列）。在生成1~100的隨機數，看它落在哪個區間，比如50在[30,60]之間，就是類型3。在查找時，可以采用線性查找，或效率更高的二分查找，時間復雜度O(logN)。

下面是第二種算法使用二分查找的實現:

<?php
class DiscreteSample
{
    private $cdf;
    private $cnt;
    public function init($pdf)
    {
        $this->cnt = count($pdf);
        if($this->cnt == 0)
            die("pdf size is empty");
        if(abs(array_sum($pdf) - 1) > 0.00001)
            die("pdf sum not equal 1, sum:".array_sum($pdf));
        $this->_pdf2cdf($pdf);
    }
    private function _pdf2cdf($pdf)
    {
        $this->cdf = $pdf;
        for ($i=1; $i < $this->cnt; $i++)
        { 
            $this->cdf[$i] += $this->cdf[$i - 1];
        }
        //因為浮點型精度問題，最后一個值強制為1
        $this->cdf[$this->cnt - 1] = 1;
    }
    public function next_rand()
    {
        $left = 0;
        $right = $this->cnt;
        $random = mt_rand() / mt_getrandmax();
        while ($left < $right - 1) 
        {
            $mid = intval(($left + $right)/2);
            if($mid - 1 >= $this->cnt) break;
            if($random > $this->cdf[$mid - 1])
                $left = $mid;
            else
                $right = $mid;
        }
        return $left;
    }
}
?>

Alias Method（別名方法）

別名算法最終的結果是要構造拼裝出一個每一列合都為1的矩形，若每一列最后都要為1，那么要將所有元素都乘以4（概率類型的數量）

此時會有概率大於1的和小於1的，接下來就是構造出某種算法用大於1的補足小於1的，使每種概率最后都為1，注意，這里要遵循一個限制：每列至多是兩種概率的組合。

最終，我們得到了兩個數組，一個是在下面原始的prob數組[0.4,0.8,0.6,1]，另外就是在上面補充的Alias數組，其值代表填充的那一列的序號索引，（如果這一列上不需填充，那么就是NULL），[3,4,4,NULL]。當然，最終的結果可能不止一種，你也可能得到其他結果。

等等，這個問題還沒有解決，得到這兩個數組之后，隨機取其中的一列，比如是第三列，讓prob[3]的值與一個隨機小數f比較，如果f小於prob[3]，那么結果就是3，否則就是Alias[3]，即4。

我們可以來簡單驗證一下，比如隨機到第三列的概率是1/4，得到第三列下半部分的概率為1/4*3/5，記得在第一列還有它的一部分，那里的概率為1/4*(1-2/5)，兩者相加最終的結果還是3/10，符合原來的pdf概率。這種算法初始化較復雜，但生成隨機結果的時間復雜度為O(1)，是一種性能非常好的算法。

代碼示例

<?php
class AliasMethod
{
    private $length;
    private $prob_arr;
    private $alias;
 
    public function __construct ($pdf)
    {
        $this->length = 0;
        $this->prob_arr = $this->alias = array();
        $this->_init($pdf);
    }
    private function _init($pdf)
    {
        $this->length = count($pdf);
        if($this->length == 0)
            die("pdf is empty");
        if(array_sum($pdf) != 1.0)
            die("pdf sum not equal 1, sum:".array_sum($pdf));
 
        $small = $large = array();
        for ($i=0; $i < $this->length; $i++) 
        { 
            $pdf[$i] *= $this->length;
            if($pdf[$i] < 1.0)
                $small[] = $i;
            else
                $large[] = $i;
        }
 
        while (count($small) != 0 && count($large) != 0) 
        {
            $s_index = array_shift($small);
            $l_index = array_shift($large);
            $this->prob_arr[$s_index] = $pdf[$s_index];
            $this->alias[$s_index] = $l_index;
 
            $pdf[$l_index] -= 1.0 - $pdf[$s_index];
            if($pdf[$l_index] < 1.0)
                $small[] = $l_index;
            else
                $large[] = $l_index;
        }
 
        while(!empty($small))
            $this->prob_arr[array_shift($small)] = 1.0;
        while (!empty($large))
            $this->prob_arr[array_shift($large)] = 1.0;
    }
    public function next_rand()
    {
        $column = mt_rand(0, $this->length - 1);
        return mt_rand() / mt_getrandmax() < $this->prob_arr[$column] ? $column : $this->alias[$column];
    }
}
?>