找遍全網，個人認為這篇講的最好。
參考：https://blog.csdn.net/young_gy/article/details/78177291
http://bilgin.esme.org/BitsAndBytes/KalmanFilterforDummies（詳細計算實例）
卡爾曼濾波是一種在不確定狀況下組合多源信息得到所需狀態最優估計的一種方法。本文將簡要介紹卡爾曼濾波的原理及推導。
什么是卡爾曼濾波
首先定義問題：對於某一系統，知道當前狀態XtX_t，存在以下兩個問題：
- 經過時間
后，下個狀態
如何求出？
- 假定已求出
，在t+1t+1時刻收到傳感器的非直接信息
，如何對狀態
進行更正？
這兩個問題正是卡爾曼濾波要解決的問題，形式化兩個問題如下：
- 預測未來
- 修正當下
下面，將以機器人導航為例，從預測未來和修正當下兩個角度介紹卡爾曼濾波器。
卡爾曼濾波的原理
問題場景如下：一個機器人，我們想知道它實時的狀態
，同時也想做到預測未來和修正當下這兩件事。
其狀態xx表示為一維大小為2的向量，元素分別表示位置信息與速度信息：
可是狀態xx不一定是精准的，其不確定性用協方差表示：
預測未來
只考慮自身狀態
只考慮自身狀態的情況下，根據物理公式，可得：
用矩陣表示如下：
在狀態變化的過程中引入了新的不確定性，根據協方差的乘積公式可得：
考慮外部狀態
外部狀態，這里以加速度為例，引入變量
同時，環境仍然存在我們無法刻畫的誤差，以
表示，最終的預測公式如下：
從上述式子可見：
- 新的最優估計是之前最優估計之前最優估計}}的預測加上已知的外界影響已知的外界影響}}的修正。
- 新的不確定度是預測的不確定度加上環境的不確定度。
修正當下
我們已得到
，下面要通過觀測到的測量值
對
進行更新。
因為
和
的數據尺度不一定相同，例如
包含了笛卡爾的坐標信息，使用radar得到的
則包含極坐標信息。所以首先應該把兩者放在相同的尺度下去比較，尺度轉換使用Hk\mathbf{H}_k將預測信息轉化為測量信息的尺度。
這樣一來，便得到測量尺度上的兩個分布：
- 測量值的分布
- 預測值變換后的分布
下面一個問題就是如何用這個兩個分布組成新的分布。
簡單的一維情況如下：
總結
預測未來
修正當下
卡爾曼濾波需要內存少，計算速度快，適合實時性情況與嵌入式設備的需要。