用Matlab編寫二分法和Newton迭代法求解非線性函數

1、二分法

   原理：若 f 的值在C[a, b]中，且 f (a) · f (b) < 0，則 f 在 (a, b) 上必有一根。

 

實現算法流程：

2、Newton迭代法

迭代公式：

幾何意義：

 

 

 

 

 3、求解問題

用Newton法和二分法求

  

  的解。

 4、代碼實現

clear;close;clc
a=0;b=1;%根區間
e=10^(-6);%根的容許誤差
[X , N]=dichotomy(e,a,b);%二分法
p0=0.5;%初始值
N=15;%迭代次數
[X1]=Newdon(p0,e,N);%Newton迭代法

function [X , N]=dichotomy(deta,a,b)
% 函數dichotomy:二分法
%輸入值：
%fun:方程函數
%deta:根的容許誤差
%有根區間：[a,b]
%輸出值
%X:求解到的方程的根
%N:總的迭代次數
N=1+fix(log2((b-a)/deta));%由公式7.2求得,取整數|X_N-X*|<=(b-a)/2^N<deta,求N
n=1;
f1=myfunction(a);
f2=myfunction(b);
if (f1*f2>0)
    disp('根不在輸入的區間里，請重新輸入區間');
else
    while n <= N
    x=(a+b)/2;
    if myfunction(a)*myfunction(x)>0
        a=x;
    else
        b=x;
    end
    n=n+1;
    end
    X=x; 
    fprintf('第%d次二分法求出的方程的根:\n',N);
    fprintf('X=\n');
    disp(X);
end
end

function [P]=Newdon(p0,TOL,N)
%求方程組的解
%輸入參數
%初始值：p0
%誤差容限:TOL
%最大迭代次數:N
%輸出參數：
%方程近似解：p
%或失敗信息“Method failed”
format long;
n=1;%初始迭代次數
syms x;
while n<=N
    if abs(subs(diff(myfunction(x)),x,p0))<TOL
        P=p0;
        break;
    else
        if subs(diff(myfunction(x),2),x,p0)==0
            disp('Method failed');
            break;
        else
            p=p0-myfunction(p0)/subs(diff(myfunction(x)),x,p0);
            p=eval(p);%將exp的值轉為小數值
            if(abs(p-p0)<TOL)
                P=p;
                break;
            else
                p0=p;
            end
        end
    end
    n=n+1;
end
% P=vpa(P,10);%將分數轉為小數並保留8位小數
fprintf('第%d次NeWton迭代法求出的方程的根:\n',N);
fprintf('P=\n');
disp(P);
end

function f=myfunction(x)
f=x*exp(x)-1;
end

5、求解結果