前言
求參數的取值范圍，是高中數學中非常普遍的一類題目，現作以總結整理。、
集合
分析：集合\(A\)為定集，集合\(B\)為動集，又因為出現了條件\(B\subseteq A\)，故需要針對集合\(B\)分類討論如下：
1、當集合\(B=\varnothing\)時，則有\(m+1\ge 2m-1\)，解得\(m\leq 2\)；
2、當集合\(B\neq\varnothing\)時，必須滿足三個條件，即\(\begin{cases}&m+1<2m-1\\&-2\leq m+1\\&2m-1\leq 7\end{cases}\)，解得\(2<m\leq 4\)；
綜上所述：實數\(m\)的取值范圍是\(\{m\mid m\leq 4\}\)。
邏輯用語
【解析】先化簡命題\(p\)，由\((x-m)^2>3(x-m)\)，得到\(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0\)，
即\(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0\)，即\((x-m)[x-(m+3)]>0\)，
則有\(p：x>m+3\)或\(x<m；q：-4<x<1\)；
因為\(p\)是\(q\)成立的必要不充分條件，則\(\{x\mid-4<x<1\}\subseteq \{x\mid x>m+3或x<m\}\)，
所以\(m+3≤-4\)或\(m≥1\)，即\(m≤-7\)或\(m≥1\)，
故\(m\)的取值范圍為\((-\infty，-7]\cup[1，+\infty)\)。
法1：由\(p\)或\(q\)為真命題，\(p\)且\(q\)為假命題可知，轉化為命題\(p\) 和\(q\)必然是一真一假；
當\(p\)真且\(q\)假時，有\(\left\{\begin{array}{l}{-2-a<1<a}\\{2\ge a或 2\leq -2-a}\end{array}\right.\)，解得\(1<a\leq 2\)；
當\(p\)假且\(q\)真時，有\(\left\{\begin{array}{l}{1\ge a或 1\leq -2-a}\\{-2-a<2<a}\end{array}\right.\)，解得\(a\in \varnothing\)；
綜上，\(1<a\leq 2\)；故選\(C\)。
法2：利用運動觀點求解，做出區間\((-2-a，a)\)，然后讓參數\(a\)從\(0\)到\(3\)逐漸增大，
當\(a=0\)時，設給定區間為\(A\)，則\(A=(-2，0)\)，此時\(1\not\in A\)且\(2\not\in A\)，故不滿足題意；
當\(a=1\)時，則\(A=(-3，1)\)，此時\(1\not\in A\)且\(2\not\in A\)，故不滿足題意；
當\(a=1.5\)時，則\(A=(-3.5，1.5)\)，此時\(1\in A\)且\(2\not\in A\)，故滿足題意；
當\(a=2\)時，則\(A=(-4，2)\)，此時\(1\in A\)且\(2\not\in A\)，故滿足題意；
當\(a=3\)時，則\(A=(-5，3)\)，此時\(1\in A\)且\(2\in A\)，故不滿足題意；
綜上可知，參數\(a\)的取值只能是\(1<a\leq 2\)；選\(C\).
定義域值域
- 已知定義域或值域，求參數的取值范圍
①如果函數的定義域是\(R\)，求參數\(a\)的取值范圍；
預備：先想一想，這個函數的定義域應該怎么求解？
分析：由於函數的定義域是\(R\)，說明對任意的\(x\in R\)，都能使得\(g(x)=x^2+2ax-a>0\)，
轉化為二次函數恆成立問題了，(此時至少可以考慮數形結合或者恆成立分離參數)
這里用數形結合，函數\(g(x)\)開口向上，和\(x\)軸沒有交點，則\(\Delta <0\)，
即\(\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)<0\)，解得\(a\in (-1，0)\)。
②如果函數的值域是\(R\)，求參數\(a\)的取值范圍；
分析：如右圖所示，要使得函數\(f(x)\)的值域是\(R\)，說明內函數\(g(x)=x^2+2ax-a\)必須要能取遍所有的正數，結合下圖，
如果有一部分正實數不能取到，那么函數\(f(x)\)的值域就不會是\(R\)，這樣只能是函數\(g(x)\)的\(\Delta \ge 0\)，
而不能是\(\Delta <0\)，注意現在題目要求是值域為\(R\)，而不是定義域為\(R\)，
因此必須滿足條件\(\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)\ge 0\)，解得\(a\in \{a\mid a\leq -1 ，a\ge 0\}\)。
下圖是參數\(a\in [-3，3]\)時的兩個函數圖像的動態變化情況；
下圖是參數\(a\in (-1，0)\)時的兩個函數圖像的動態變化情況；
二次不等式
法1：(將\(b\)和\(\lambda\)看做系數)將不等式轉化為\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)對任意的\(a\in R\)恆成立，
則\(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\)，
解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
法2：變量集中策略，當\(b=0\)時，即\(a^2\ge 0\)恆成立，\(\lambda\in R\)；
當\(b\neq 0\)時，原不等式等價於\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\)，
令\(\cfrac{a}{b}=t\in R\)，即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)對任意的\(t\in R\)恆成立，
則\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\)，
解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
綜上所述(兩種情況取交集)，實數\(\lambda\)的取值范圍為\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
法1：利用二次函數求解，要使\(f(x)<-m+5\)恆成立，即\(mx^2-mx+m-6<0\)，
即\(m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6<0\)在\(x\in[1,3]\)上恆成立，
令\(g(x)=m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6,x\in [1,3]\)，
當\(m>0\)時，\(g(x)\)在\([1,3]\)上是增函數，
所以\(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0\), 解得\(m<\cfrac{6}{7}\)，
則有\(0<m<\cfrac{6}{7}\)；
當\(m<0\)時，\(g(x)\)在\([1,3]\)上是減函數，
所以\(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0\), 解得\(m<6\)，
則有\(m<0\)；
綜上所述，\(m\)的取值范圍是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。
法2：分離參數法，因為\(x^2-x+1>0\)，由\(f(x)<-m+5\)可得\(m(x^2-x+1)-6<0\)，
故有\(m<\cfrac{6}{x^2-x+1}\)恆成立，
又因為函數\(y=\cfrac{6}{x^2-x+1}=\cfrac{6}{(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}}\)在區間\([1,3]\)上的最小值為\(\cfrac{6}{7}\),
故只需\(m<\cfrac{6}{7}\)即可，
又因為\(m\neq 0\)，所以\(m\)的取值范圍是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。
分析：主輔元換位，把不等式的左端看成關於\(a\)的一次函數，
記為\(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\)，則由\(f(a)>0\)對於任意的\(a\in[-1,1]\)恆成立，
只需\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}\)即可，
即\(\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}\)，
解得\(x<1\)或\(x>3\)，則\(x\)的取值范圍是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).