1. PSNR (Peak Signal-to-Noise Ratio) 峰值信噪比
給定一個大小為 \(m×n\) 的干凈圖像 \(I\) 和噪聲圖像 \(K\)，均方誤差 \((MSE)\) 定義為：
\[MSE = \frac{1}{mn}\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}[I(i, j)-K(i,j)]^2 \]
然后 \(PSNR (dB)\) 就定義為：
\[PSNR = 10 \cdot log_{10}(\frac{MAX_I^2}{MSE}) \]
其中 \(MAX_I^2\) 為圖片可能的最大像素值。如果每個像素都由 8 位二進制來表示，那么就為 255。通常，如果像素值由 \(B\) 位二進制來表示，那么 \(MAX_I = 2^B-1\)。
一般地，針對 uint8 數據，最大像素值為 255,；針對浮點型數據，最大像素值為 1。
上面是針對灰度圖像的計算方法，如果是彩色圖像，通常有三種方法來計算。
- 分別計算 RGB 三個通道的 PSNR，然后取平均值。
- 計算 RGB 三通道的 MSE ，然后再除以 3 。
- 將圖片轉化為 YCbCr 格式，然后只計算 Y 分量也就是亮度分量的 PSNR。
其中，第二和第三種方法比較常見。
# im1 和 im2 都為灰度圖像，uint8 類型
# method 1
diff = im1 - im2
mse = np.mean(np.square(diff))
psnr = 10 * np.log10(255 * 255 / mse)
# method 2
psnr = skimage.measure.compare_psnr(im1, im2, 255)
compare_psnr(im_true, im_test, data_range=None) 函數原型可見此處
針對超光譜圖像，我們需要針對不同波段分別計算 PSNR，然后取平均值，這個指標稱為 MPSNR。
2. SSIM (Structural SIMilarity) 結構相似性
\(SSIM\) 公式基於樣本 \(x\) 和 \(y\) 之間的三個比較衡量：亮度 (luminance)、對比度 (contrast) 和結構 (structure)。
\[l(x,y) = \frac{2\mu_x \mu_y + c_1}{\mu_x^2+ \mu_y^2 + c_1} \]
\[c(x,y) = \frac{2\sigma_x \sigma_y + c_2}{\sigma_x^2+ \sigma_y^2 + c_2} \]
\[s(x,y) = \frac{\sigma_{xy} + c_3}{\sigma_x \sigma_y + c_3} \]
一般取 \(c_3 = c_2 / 2\)。
- \(\mu_x\) 為 \(x\) 的均值
- \(\mu_y\) 為 \(y\) 的均值
- \(\sigma_x^2\) 為 \(x\) 的方差
- \(\sigma_y^2\) 為 \(y\) 的方差
- \(\sigma_{xy}\) 為 \(x\) 和 \(y\) 的協方差
- \(c_1 = (k_1L)^2, c_2 = (k_2L)^2\) 為兩個常數，避免除零
- \(L\) 為像素值的范圍，\(2^B-1\)
- \(k_1=0.01, k_2=0.03\) 為默認值
那么
\[SSIM(x, y) = [l(x,y)^{\alpha} \cdot c(x,y)^{\beta} \cdot s(x,y)^{\gamma}] \]
將 \(\alpha,\beta,\gamma\) 設為 1，可以得到
\[SSIM(x, y) = \frac{(2\mu_x \mu_y + c_1)(2\sigma_{xy}+c_2)}{(\mu_x^2+ \mu_y^2 + c_1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2+c_2)} \]
每次計算的時候都從圖片上取一個 \(N×N\) 的窗口，然后不斷滑動窗口進行計算，最后取平均值作為全局的 SSIM。
# im1 和 im2 都為灰度圖像，uint8 類型
ssim = skimage.measure.compare_ssim(im1, im2, data_range=255)
針對超光譜圖像，我們需要針對不同波段分別計算 SSIM，然后取平均值，這個指標稱為 MSSIM。
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