有關狀態轉移矩陣的兩道題目

核💗: 對狀態轉移矩陣的理解---A(x,y) 從x狀態轉移y狀態有多少種可能; B=A^n----B(x,y)表示經過n輪轉移之后從x到y有多少轉換方式

NO.1---方格填數

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題目描述

 

給一個m x n的方格，Applese想要給方格填上顏色，每個格子可以是黑色或者白色。他要求左右相鄰兩格不能同為白色且相鄰兩列不能全為黑色。

求滿足條件的方案數。

輸入描述:

輸入兩個整數m, n。(1 ≤ m ≤ 5, 1 ≤ n ≤ 10

¹⁸

)。

輸出描述:

輸出答案對10

⁹

 + 7取模的結果。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+7;
int tot;
struct mat {
    LL m[50][50];
    mat operator*(const mat& t) const {
        mat ans;
        for (int i=0;i<tot;i++)
            for (int j=0;j<tot;j++) {
                LL x=0;
                for (int k=0;k<tot;k++)
                    x=( m[i][k]*t.m[k][j]%mod+x )%mod;
                ans.m[i][j]=x;
            }
        return ans;
    }
};
mat A;
int m;LL n;
mat q_pow (mat X,LL k) {
    mat B;
    for (int i=0;i<tot;i++) B.m[i][i]=1;
    while (k) {
        if (k&1) B=B*X;
        X=X*X;
        k=(k>>1);
    }
    return B;
}
int main ()
{
    scanf ("%d %lld",&m,&n);
    tot=(1<<m);
    for (int i=0;i<tot;i++)
        for (int j=0;j<tot;j++) {
            if (i==0&&j==0) continue;
            if (!(i&j)) A.m[i][j]=1;
        }
    A=q_pow (A,n-1);
    LL sum=0;
    for (int i=0;i<tot;i++)
        for (int j=0;j<tot;j++)
            sum=(sum+A.m[i][j])%mod;
    printf("%lld\n",sum);
    return 0;
}

NO.2--方格填數

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小w喜歡Van數列 

小w有一個長度為n的由3和7構成的環狀序列
小w規定序列中任意相鄰的m個數，3的個數不能超過7的個數 
小w想知道這樣的序列共有多少種 ,方案數對於998244353取mod

 

輸入描述:

 

一行兩個數n,m

 

輸出描述:

 

一個數表示對998244353取模后的方案數

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=998244353;
LL n,m,dim;
bool check (int x) {
    int tmp=x,sum=0;
    while (tmp) {
        if (tmp&1) sum++;
        tmp=tmp>>1;
    }
    return sum>=(m+1)/2;
}
struct matrix {
    LL a[40][40];
    friend matrix operator*(const matrix& x,const matrix& y) {
        matrix ans;
        for (int i=0;i<dim;i++)
            if (check(i))
                for (int j=0;j<dim;j++)
                    if (check(j)) {    
                        ans.a[i][j]=0;
                        for (int k=0;k<dim;k++) 
                            ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%mod;
                    }
        return ans;
    }
};    
matrix q_pow (matrix x,LL k) {
    matrix ans; 
    for (int i=0;i<dim;i++)
        for (int j=0;j<dim;j++)
            if (i==j) ans.a[i][j]=1;
            else      ans.a[i][j]=0;
    while (k) {
        if (k&1)  ans=ans*x;
        x=x*x;
        k=k>>1;
    }
    return ans;
}
matrix tra;
int main ()
{
    scanf ("%lld %lld",&n,&m);
    dim=(1<<m); 
    for (int i=0;i<dim;i++)// 狀態描述: dp[i] :最后m位狀態是i的種類有多少種
        for (int j=0;j<dim;j++)
            if (check(i)&&check(j)&&(i&(1<<m-1)-1)==(j>>1)) {
                tra.a[i][j]=1;
                //cout<<i<<" "<<j<<" :"<<tra.a[i][j]<<endl;
            }
    matrix ans=q_pow (tra,n-m);
    LL sum=0;
    for (int i=0;i<dim;i++) if (check(i))  //最后枚舉初始狀態和最終狀態是否兼容
        for (int j=0;j<dim;j++) if (check(j)) {
            int flag=1;
            for (int k=1;k<m;k++)  
                if ( check ( ( ((j<<k)|(i>>m-k)) )&(dim-1) ) ) flag++;
            if (flag==m) sum=(sum+ans.a[i][j])%mod;
        }
    printf("%lld\n",sum);
    return 0;
}

 

 

 

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今天是個特殊的日子，CSL和他的小伙伴們圍坐在一張桌子上玩起了明七暗七的游戲。游戲規則是這樣的：

一個人報出一個起始數，接下來按照逆時針的順序輪流報數，如果碰到數是7的倍數或含有7，則拍手，下一個人接着報數。直到有一個人報錯了數字或者沒有及時拍手為止。

玩游戲嘛，當然得有懲罰。這么簡單的游戲對CSL的學霸小伙伴而言實在是太無腦了，輕輕松松數到上萬根本不在話下。但是對於數學是體育老師教的CSL來說，實在是太難了。快幫他算算什么時候應該拍手吧。