兩道動態規划的作業題

Question1

用動態規划方法手工求解下面的問題：

某工廠調查了解市場情況，估計在今后四個月內，市場對其產品的需求量如下表所示。

時期（月）	需要量（產品單位）
1 2 3 4	2 3 2 4

已知：對每個月來講，生產一批產品的固定成本費為 3 (千元)，若不生產，則為零。每生產單位產品的成本費為 1 （千元)。同時，在任何一個月內，生產能力所允許的最大生產批量為不超過6個單位。又知每單位產品的庫存費用為每月 0.5 （千元），同時要求在第一個月開始之初， 及在第四個月末，均無產品庫存。 問：在滿足上述條件下，該廠應如何安排各個時期的生產與庫存，使所花的總成本費用最低？

要求：寫出各種變量、狀態轉移方程、遞推關系式、和詳細計算步驟。

Solution：

階段：按月份時間進行階段划分，i表示第i月

狀態：月初時的庫存量S

決策集合：第i月生產單位產品的數量k_i，且0<=k_i<=6

不妨設第i月的產品需求量為a_i，則狀態間的轉移關系為S_i+1 = S_i + k_i – a_i。我們設F[i , s]為從第i月到第n（n=4）月的最低總成本費用，則不難得出如下狀態轉移方程的遞推關系式：

其中：w=0 (k==0) 或 w=3 + 1*k (1<=k<=6)

邊界條件：F[5,0] = 0；s + k –a[i] >=0；

目標結果狀態：F[1,0]即所求最低成本費用

手工求解計算詳細計算步驟如下：

i=4
狀態	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	Min	決策
F[4,0]	N/A	N/A	N/A	N/A	7	8	9	7	4
F[4,1]	N/A	N/A	N/A	6.5	7.5	8.5	9.5	6.5	3
F[4,2]	N/A	N/A	6	7	8	9	10	6	2
F[4,3]	N/A	5.5	6.5	7.5	8.5	9.5	10.5	5.5	1
F[4,4]	2	6	7	8	9	10	11	2	0
i=3
狀態	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	Min	決策
F[3 , 0]	N/A	N/A	12	12.5	13	13.5	11	11	6
F[3 , 1]	N/A	11.5	12	12.5	13	10.5	N/A	10.5	5
F[3 , 2]	8	11.5	12	12.5	10	N/A	N/A	8	0
F[3 , 3]	8	11.5	12	9.5	N/A	N/A	N/A	8	0
F[3 , 4]	8	11.5	9	N/A	N/A	N/A	N/A	8	0
F[3 , 5]	8	8.5	N/A	N/A	N/A	N/A	N/A	8	0
F[3 , 6]	5	N/A	N/A	N/A	N/A	N/A	N/A	5	0
i=2
狀態	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	Min	決策
F[2 , 0]	N/A	N/A	N/A	17	17.5	16	17	16	5
F[2 , 1]	N/A	N/A	16.5	17	15.5	16.5	17.5	15.5	4
F[2 , 2]	N/A	16	16.5	15	16	17	18	15	3
F[2 , 3]	12.5	16	14.5	15.5	16.5	17.5	15.5	12.5	0
F[2 , 4]	12.5	14	15	16	17	15	N/A	12.5	0
F[2 , 5]	10.5	14.5	15.5	16.5	14.5	N/A	N/A	10.5	0
F[2 , 6]	11	15	16	14	N/A	N/A	N/A	11	0
i=1
狀態	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	Min	決策
F[1,0]	N/A	N/A	21	21.5	22	20.5	21.5	20.5	5

由上表不難得出，所花的總成本費用最低為20.5（千元），該情況下的由遞推公式逆推可得決策安排如下：第一個月生產5個單位產品，第二個月生產0個，第三個月生產0個，第四個月生產6個，該方案可使總成本最低，即20.5（千元）。

源代碼：

#include<iostream>
using namespace std;

double f[5][7] = {0};
int a[5] = {0,2,3,2,4};
int main()
{
    for(int i=0;i<5;i++)
        for(int j=0;j<=7;j++)
            f[i][j] = 1000;
    f[5][0] = 0;
    for (int i=4;i>=1;i--){
        for(int s=0;s<=6;s++) {
            int temp = 0;
            for(int k=i;k<=4;k++) temp+= a[k];
            if (s>temp) continue;
            double min = 10000;
            int u = -1;
            for(int j=0;j<=6;j++){
                int w = 3 + j;
                if (j==0) w = 0;
                if (s + j - a[i] >= 0 && s + j - a[i] <=6) {
                    if (min>f[i+1][s+j-a[i]] + w + 0.5*s) {
                        min = f[i+1][s+j-a[i]] + w + 0.5*s;
                        u = j;
                    }
                }
            }
            f[i][s] = min;
        }
    }
    cout<<"Answer:"<<f[1][0]<<endl;
    return 0;
}

Question2：

用動態規划方法編程求解下面的問題：

某推銷員要從城市 v₁出發，訪問其它城市 v₂，v₃，…，v₆各一次且僅一次，最后返回 v₁。D 為各城市間的距離矩陣。

問：該推銷員應如何選擇路線，才能使總的行程最短？

要求：寫出遞推關系式、偽代碼和程序相關說明，並分析時間復雜性。（請遵守第一節課提出的有關 assignment 的要求）

Solution：

設F[i,s]表示當前所在節點為i，已經走過的節點集合為s的最短路程。決策為選擇下一個節點k，因此，的狀態轉移方程的遞推關系式：

其中，d[i,k]表示i節點到k節點的距離

源代碼：

一些說明：有幾個關鍵問題需要說明

1、集合如何表示，表示集合有個很好的方法，就是使用二進制模型。例如：11101表示含有1、3、4、5元素的集合。這一一個十進制的數字就可以代表一個集合。

2、那么如何進行對集合的操作呢？對於位運算，我們可以利用1的左右移（<< or >>）來判斷是否包含某個元素。S-{k}也就是方便的表示為：S[j] & (length-(1<<(k-1)))，其中length=(1 << (n-1)) - 1;

3、該圖表示一個求解模型樹，不難發現含有一個元素的集合要先進行計算，才可以計算還有兩個元素狀態的解空間，這樣就要求不同集合之間是有序的，即含有二進制1的個數少的要排在前面。這樣就不會在計算過程中，出現使用未計算結果的情況。實現方法可以使用預排序。因為排序的復雜度相對於整體算法的復雜性而言，是很小的，不會過多影響性能。

時間復雜度：

由於集合的狀態個數為2^n-1 個，還需要枚舉每個結點，以及每個集合中的元素，因此整個算法的近似復雜度為O(n²*2ⁿ)。

最后給出源代碼（水平有限僅供參考）：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxnum = 100001;

int Count(int v){
    int num = 0;
    while(v){
        v &= (v-1);
        num ++;
    }
    return num;
}

bool cmp(int a , int b){
    int count1_a = Count(a);
    int count1_b = Count(b);
    return count1_a < count1_b;
}

bool existkey( int key , int S) {
    int p = 1;
    p = p << (key-1);
    p = p & S;
    if (p>0) return true;
    else return false;
}

void getElements( int S , int * arr , int length , int &return_len) {
    int p = 1;
    int pos = 0;
    for(int i=0;i<length;i++){
        if (p == (p&S)){
            arr[pos++] = i+1;
        }
        p = p << 1;
    }
    return_len = pos;
}

int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    int n = 0 ;
    cin >> n;
    int F[10][100];
    int S[1000];
    int elements [10];
    int distance[10][10];
    int length_elements = 0;
    for(int i=0 ; i<n ; i++ ){
        for (int j=0 ; j<n ; j++) {
            cin>>distance[i][j];
        }
    }
    for (int i=1 ; i<=n ;i++)
        F[i][0] = distance[i][0];
    
    int length = (1 << (n-1)) - 1;
    for (int i=1 ; i<=length ; i++){
        S[i] = i;
    }
    sort(S,S+length,cmp);
    S[0] = 0;

    for (int j=1 ; j<=length ; j++) {
        for(int i=1 ; i<n ; i++) {
            if (existkey(i , S[j]) != true){ 
                getElements(S[j] , elements, n , length_elements);
                int min = maxnum;
                for (int p=0 ; p<length_elements ; p++){
                    int k = elements[p];
                    int jj = S[j] & (length-(1<<(k-1))) ;
                    if (min > ( F[k][jj] + distance[i][k] ) && k!=i )
                        min = F[k][jj] + distance[i][k];
                }
                F[i][S[j]] = min;
            }
        }
    }

    int ans = maxnum;
    for (int i=1 ; i<n ; i++){
        int j = length & (length -(1<<(i-1)));
        if (ans > F[i][j] + distance[0][i]) ans = F[i][j] + distance[0][i];
    }
    cout<<"Answer:\t"<<ans<<endl;
    return 0;
}