[ML學習筆記] 回歸分析（Regression Analysis）

回歸分析：在一系列已知自變量與因變量之間相關關系的基礎上，建立變量之間的回歸方程，把回歸方程作為算法模型，實現對新自變量得出因變量的關系。

回歸與分類的區別：回歸預測的是連續變量（數值），分類預測的是離散變量（類別）。

## 線性回歸

線性回歸通過大量的訓練出一個與數據擬合效果最好的模型，實質就是求解出每個特征自變量的權值θ。

設有特征值x1、x2（二維），預測值 $ h_\theta(x)=\theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 $。將其寫為矩陣形式：令x0為全為1的向量，則預測值 $ h_\theta(x)=\sum_{i=0}^n\theta_i x_i =\theta^T x$。

真實值和預測值之間的偏差用 \(\varepsilon\) 表示，則有預測值 $ y^{(i)} = \theta^Tx^{(i)} + \varepsilon^{(i)}$。

假設誤差\(\varepsilon^{(i)}\)是獨立同分布的（通常認為服從均值為 \(0\) 方差為 \(\sigma^2\) 的正態分布），有：

\[\begin{split} &p(\epsilon^{(i)})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(\epsilon^{(i)})^2}{2\sigma^2}} \\ 代入則有&p(y^{(i)}\mid x^{(i)};\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{( y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)} )^2}{2\sigma^2}} \\ \end{split} \]

符號解釋
p(x|theta)表示條件概率，是隨機變量
p(x;theta)表示待估參數（固定的，只是當前未知），可直接認為是p(x)，加了分號是為了說明這里有個theta參數

上式用語言描述就是，要取一個怎樣的\(\theta\)，能夠使得在\(x^{(i)}\)的條件下最有可能取到\(y^{(i)}\)。

可用極大似然估計求解，

\[L(\theta)=\prod_{i=1}^mp(y^{(i)}\mid x^{(i)};\theta)=\prod_{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{( y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)} )^2}{2\sigma^2}} \]

\[\begin{split} l(\theta)&=\log L(\theta)\\ &=\log\prod_{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{( y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)} )^2}{2\sigma^2}} \\ &= \sum_{i=1}^m\log\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{( y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)} )^2}{2\sigma^2}} \\ &= m\log\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^m(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2\\ \end{split} \]

化為求目標函數\(J(\theta)=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{i})^2\)的最小值。

###最小二乘法求解

用矩陣形式表示:

\[J(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{i})^2 =\frac{1}{2}(X\theta-y)^T(X\theta-y) \]

然后對\(\theta\)求導：

\[\begin{split} \triangledown_\theta J(\theta)&=\triangledown_\theta(\frac{1}{2}(X\theta-y)^T(X\theta-y))\\ &=\triangledown_\theta(\frac{1}{2}(\theta^TX^T-y^T)(X\theta-y))\\ &=\triangledown_\theta(\frac{1}{2}(\theta^TX^TX\theta-\theta^TX^Ty-y^TX\theta+y^Ty))\\ &=\frac{1}{2}(2X^TX\theta-X^Ty-(y^TX)^T)\\ &=X^TX\theta-X^Ty \end{split} \]

令 \(X^TX\theta-X^Ty=0\)，則有最終結果 \(\theta = (X^TX)^{-1}X^Ty\)

### 梯度下降法求解

上述方法有時候會出現不能直接求出極值的情況，比如矩陣不可逆，只能通過不斷優化的過程求解。梯度下降顧名思義，最快的下山的方式就是找到當前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，對應到函數中，就是找到給定點的梯度，然后朝着梯度相反的方向，就能讓函數值下降的最快。

設 \(h_\theta(x)=\theta_1x+\theta_0\)，

\[\begin{split} J(\theta_0,\theta_1)&=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{i})^2\\ \frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial \theta_0} &= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{i})\\ \frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial \theta_1} &= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{i})x_i\\ \end{split} \]

更新后的\(\theta_0,\theta_1\)（選取合適的\(\alpha\)做步長）：

\[\begin{split} \theta_0:=\theta_0-\alpha*\frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial \theta_0}\\ \theta_1:=\theta_1-\alpha*\frac{\partial J(\theta_0,\theta_1)}{\partial \theta_1} \end{split} \]

## 邏輯回歸（二分類問題）

邏輯回歸本質不是回歸，而是分類。可用Sigmoid函數 \(g(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}\)將任意實數x映射到(0,1)區間從而進行類別划分，一般默認概率大於等於0.5則為1，小於0.5則為0，也可以自行設置閾值。

用一句話來說就是：邏輯回歸假設數據服從伯努利分布，通過極大化似然函數的方法，運用梯度下降來求解參數得出分類概率，通過閾值過濾來達到將數據二分類的目的。