第24屆全國青少年信息學奧林匹克聯賽初賽
普及組C++語言試題
競賽時間：2018 年 10 月 13 日 14:30~16:30
選手注意：
1、試題紙共有 7 頁，答題紙共有 2 頁，滿分 100 分。請在答題紙上作答，寫在試題紙上的一律無效。
2、不得使用任何電子設備（如計算器、手機、電子詞典等）或查閱任何書籍資料。
一、單項選擇題（共15題，每題2分，共計30分；每題有且僅有一個正確選項）
1.以下哪一種設備屬於輸出設備:( )
A.掃描儀
B.鍵盤
C.鼠標
D.打印機
解析：
當然是選打印機啦。打印機可以輸出圖片、文字等。
A.掃描儀是輸入設備，可以掃描圖像到電腦。
B.鍵盤也是輸入設備，用來輸入文字或字母。
C.鼠標也是輸入設備，這就不用說了吧。（手動滑稽）
2.下列四個不同進制的數中，與其它三項數值上不相等的是( )。
A. (269)16 (注解：\(2 * 16^2 + 6 * 16^1 + 9 * 16 ^0 = 617\))
B. (617)10
C. (1151)8 （注解：\(1 * 8^3 + 1 * 8^2 + 5 * 8^1 + 1 * 8^0 = 617\)）
D. (1001101011)2 (注解：\(1*2^9+1*2^6+1*2^5+1*2^3+1*2^1+1*2^0=619\))
3.1MB等於( )。
A. 1000 字節
B. 1024 字節
C. 1000 X 1000字節
D. 1024 X 1024字節
注：
1GB=1024MB
1MB=1024KB
1KB=1024B
1B=8b
（B指字節）
4.廣域網的英文縮寫是( )。
A. LAN 局域網（Local Area Network，LAN)
B. WAN 廣域網（WAN，Wide Area Network）
C. MAN man n.男人; 人類; 男子漢; 雇工;vt.使振作; 操縱; 給…配置人員; 在…就位;int.（表示驚訝、氣憤等） 嘿，天哪;
D.LNA LNA(低噪聲放大器)
5.中國計算機學會於( )年創辦全國青少年計算機程序設計競賽。
A. 1983
B. 1984
C. 1985
D. 1986
注：中國計算機學會於1984年創辦全國青少年計算機程序設計競賽(簡稱:NOI)
6.如果開始時計算機處於小寫輸入狀態，現在有一只小老鼠反復按照 CapsLock、字母鍵 A、字母鍵S、字母鍵 D、字母鍵 F 的順序循環按鍵，即 CapsLock、A、S、D、F、CapsLock、A、S、D、F、......，屏幕上輸出的第 81 個字符是字母 ( )。
A. A
B. S
C. D
D. a
則有序列為：
A S D F a s d f A S D F a s d f ......
八個一循環。
81/8=10...1
故第81個是A。
7.根節點深度為 0，一棵深度為 h 的滿 k(k>1)叉樹，即除最后一層無任何子節點外，每一層上的所有結點都有k個子結點的樹，共有( )個結點。
A. \((k^h+1-1)/(k-1)\)
B. \(k^h-1\)
C. \(k^h\)
D. \((k^h-1)/(k-1)\)
第\(0\)層的節點為\(1\)，第\(1\)層為\(k\)，第二層為\(k^2\)，直到第\(h\)層為\(k^h\)。
則節點數為：
\(1+k^1+k^2+k^3+...+k^h=\frac{1-k^{h+1}}{1-k}1+k\)
即\(\frac{k^{h+1}-1}{k-1}\)
8.以下排序算法中，不需要進行關鍵字比較操作的算法是( )。
A. 基數排序
B. 冒泡排序
C. 堆排序
D. 直接插入排序
基數排序又稱桶排序。
比如有這樣一個序列：5 3 2 2 1 5
使用基數排序的方法是：
1在這個序列中出現的次數為1
2在這個序列中出現的次數為2
3在這個序列中出現的次數為1
4在這個序列中出現的次數為0
5在這個序列中出現的次數為2
所以該序列排序后為1 2 2 3 5 5
所以基數排序不需要比較，只需要每次把他扔到桶里就好了。
9.給定一個含 \(N\) 個不相同數字的數組，在最壞情況下，找出其中最大或最小的數，至少需要 \(N - 1\) 次比較操作。則最壞情況下，在該數組中同時找最大與最小的數至少需要( )次比較操作。(\(\lceil\rceil\)表示向上取整，\(\lfloor\rfloor\)表示向下取整)
A \(\lceil3N/2\rceil-2\)
B \(\lfloor3N/2\rfloor-2\)
C. 2N - 2
D. 2N - 4
答案：A
10.下面的故事與( )算法有着異曲同工之妙。從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚在給小和尚講故事:“從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚在給小和尚講故事:‘從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚給小和尚講故事......’”
A. 枚舉
B. 遞歸
C. 貪心
D. 分治
答案：B
這是一種遞歸，不斷得套自己。
11.由四個沒有區別的點構成的簡單無向連通圖的個數是( )。
A. 6
B. 7
C. 8
D.9
答案：A
簡單圖：設G=(V，E)是圖，若G中既無吊環又無多重邊，則稱G是簡單圖(simplegraph)
——by abc2237512422
12.設含有 10 個元素的集合的全部子集數為 S，其中由 7 個元素組成的子集數為T，則T / S的值為( )。
A. 5 / 32
B. 15 / 128
C. 1 / 8
D. 21 / 128
\(T=C^7_{10}=C^3_{10}=120\)
\(S=C^0_{10}+C^1_{10}+C^2_{10}+...+C^{10}_{10}=1024\)
那么
\(T/S=120/1024=15/128T/S=120/1024=15/128\)
13.10000以內，與10000互質的正整數有( )個。
A. 2000
B. 4000
C. 6000
D. 8000
這道題用到了容斥。
首先看與10000是因數關系的是2或5的倍數。
所以可將2或5的倍數的個數減去10的倍數個數。
最后將10000減去上所求的個數即得互質的個數。
14.為了統計一個非負整數的二進制形式中 1 的個數，代碼如下:
int CountBit(int x)
{
int ret = 0;
while (x)
{
ret++;
___________;
}
return ret;
}
則空格內要填入的語句是( )。
A. x >>= 1
B. x &= x - 1
C. x |= x >> 1
D. x <<= 1
選B。
為了統計一個非負整數的二進制形式中 1 的個數
所以每次就刪掉最高位（第一個為1的那一位）。
15.下圖中所使用的數據結構是( )。
洛谷丑陋的水印↑
A. 哈希表
B. 棧
C. 隊列
D. 二叉樹
這道題模擬的是先進先出的數據結構——棧
不會的自己溫故一下百度百科
二、問題求解（共 2 題，每題 5 分，共計 10 分）
1.甲乙丙丁四人在考慮周末要不要外出郊游。 已知
(1)如果周末下雨，並且乙不去，則甲一定不去；
(2)如果乙去，則丁一定去；
(3)如果丙去，則丁一定不去；
(4)如果丁不去，而且甲不去，則丙一定不去。
如果周末丙去了，則甲(去了/沒去)(1 分)，乙(去了/沒去)(1 分)，丁(去了/沒去)(1 分)，周末(下雨/ 沒下雨)(2 分)。
這道題貌似是小學奧數題吧（2333333333333）。
只需要枚舉一遍，看一看是否矛盾就好了。
首先，丙是要去的。
那么根據(4)可以得知丁、甲中一定有一個或兩個去。
而又根據(3)可以得知丁不去，那么甲去。
又根據(2)，因為前面已經提到：丁不去。
那么證明乙也不去。
最后根據(1)得知，周末一定不下雨，如果下雨，那么甲也不去，就和之前的矛盾了。
所以答案：
甲（去了） 乙（沒去） 丁（沒去） 周末（沒下雨）
2.從 1 到 2018 這 2018 個數中，共有544個包含數字 8 的數。
包含數字 8 的數是指有某一位是“8”的數，例如“2018”與“188”。
數碼問題
1-99有19個
100-199有19個
......
800-899有100個
1800-1899有100個
一共有:
\(（20-2）×19+2×100+2\)
\(=18×19+202\)
\(=342+202\)
\(=544\)個
三、閱讀程序寫結果（共 4 題，每題 8 分，共計 32 分）
#include<cstdio>
char st[100];
int main() {
scanf("%s", st);
for (int i = 0; st[i]; ++i) {
if ('A' <= st[i] && st[i]<= 'Z')
st[i] += 1;
}
printf("%s\n", st);
return 0;
}
輸入：QuanGuoLianSai
輸出：RuanHuoMianTai
這道題也就是將所有的大寫字母往后一位（+1）
#include<cstdio>
int main() {
int x;
scanf("%d", &x);
int res = 0;
for (int i = 0; i < x; ++i) {
if (i * i % x == 1) {
++res;
}
}
printf("%d", res);
return 0;
}
輸入：15
輸出：4
給出的數據很小，直接模擬一遍就好啦。
#include<iostream>
using namespacestd;
int n, m;
int findans(int n, int m) {
if (n == 0) return m;
if (m == 0) return n % 3;
return findans(n - 1, m) - findans(n, m - 1) +findans(n - 1, m - 1);
}
int main(){
cin >> n >> m;
cout << findans(n, m) << endl;
return 0;
}
輸入：5 6
輸出：8
通過遞歸就可想到可以使用遞推來解決。
所以畫一個矩陣就好了。
\(f[0][i]=i;\)
\(f[i][0]=i \mod 3\)
\(f[i][j]=f[i−1][j]−f[i][j−1]+f[i−1][j−1]\)
excel真方便（逃：
#include<cstdio>
int n, d[100];
bool v[100];
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
scanf("%d", d + i);
v[i] = false;
}
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (!v[i]) {
for (int j = i; !v[j]; j = d[j]) {
v[j] = true;
}
++cnt;
}
}
printf("%d\n", cnt);
return 0;
}
輸入：10 7 1 4 3 2 5 9 8 0 6
輸出：6
按題意模擬即可，數據很小，但注意第一個讀入的數據為n。
四、完善程序（共 2 題，每題 14 分，共計 28 分）
1.（最大公約數之和）下列程序想要求解整數的所有約數兩兩之間最大公約數的和對10007求余后的值，試補全程序。（第一空 2 分，其余 3 分）
舉例來說，4的所有約數是1,2,4。1和2的最大公約數為1；2和4的最大公約數為2；1和4的最大公約數為1。於是答案為1 + 2 + 1 = 4。
要求 getDivisor 函數的復雜度為0(√n)，gcd 函數的復雜度為O(log max(a, b))。
#include<iostream>
using namespacestd;
const int N =110000, P = 10007;
int n;
int a[N], len;
int ans;
void getDivisor(){
len = 0;
for(int i=1;__(1)__<=n;++i)
if (n % i == 0) {
a[++len] = i;
if(__(1)__!=i)a[++len]=n/i;
}
}
}
int gcd(int a,int b) {
if (b == 0) {
__(3)__;
}
return gcd(b,__(4)__);
}
int main() {
cin >> n;
getDivisor();
ans = 0;
for (int i = 1; i <= len; ++i) {
for (int j = i + 1; j <= len; ++j) {
ans=(__(5)__)%P;
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
答案：i*i , n/i , return a, a%b , ans+gcd(a[i],a[j])
這道題先求出所有的約數，然后兩兩求最大公約數，注意%P;
2.對於一個1到n的排列p(即1到n中每一個數在p中出現了恰好一次)，令qi為第i個位置之后第一個比pi值更大的位置，如果不存在這樣的位置，則qi =n+1。
舉例來說，如果n=5且p為1 5 4 2 3，則q為2 6 6 5 6。
下列程序讀入了排列p，使用雙向鏈表求解了答案。試補全程序。（第二空2分，其余3分）
數據范圍 1 ≤ n ≤ 105。
#include<iostream>
using namespace std;
const int N =100010;
int n;
int L[N], R[N],a[N];
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int x;
cin >> x;
__(1)__;
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
R[i]=__(2)__;
L[i] = i - 1;
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
L[__(3)__]= L[a[i]];
R[L[a[i]]] = R[__(4)__];
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cout <<__(5)__<<" ";
}
cout << endl;
return 0;
}
這道題用雙向鏈表解答。。。
答案：a[x]=i , i+1 , R[a[i]] , a[i] , R[i]