常數變易法
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學過“常數變易法”的同學請直接點擊“常數變易法的原理”
這里只講述常數變易法的原理，為什么要用常數變易法請參見參考資料《常數變易法的解釋 》
在學習高數的過程中，關於為什么在解一階線性微分方程的時候要使用常數變易法，為什么可以使用常數變易法，常數變易法為什么是有效並且正確的，老師都語焉不詳，一筆帶過，導致一直不能很好地理解其中的數學思想。自己也只能接受老師的解釋，將這個方法強行合理化。
但是最近再次看到一階線性微分方程的求解，看到直接給出來的求解公式一頭霧水，再去翻書，始終還是感覺隔靴搔癢，霧里看花，始終不自在，所以上網搜索了一下，搜到了一篇相關文章（常數變易法的解釋 ），終於明白了其中蘊含的深刻而巧妙的數學思想，喜不自禁。
所以在此記錄下個人的理解，一則梳理自己的思路，二則可供感興趣的同學參考，倘能有助於大家理解常數變易法的“自然”性，亦是幸甚。
什么是常數變易法？
有以下一階線性微分方程：$$ y' +P(x)y=Q(x) \tag1$$其中，\(P(x)\not \equiv 0\) 且 \(Q(x)\not \equiv 0\)。
若解其對應的齊次方程：$$ y' +P(x)y=0\tag2$$則易有：$$y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)$$即為齊次方程的通解。
這時，我們可以用常數變易法來求非齊次方程\((1)\)的通解，即將齊次方程\((2)\)的通解中的常數\(C\)換成（變易為）一個關於\(x\)的未知函數\(u(x)\)，變易之后，非齊次方程通解表示如下：$$y=u(x)\cdot e^{-\int P(x)dx} \Big(u(x)\not\equiv 0\Big)\tag3$$於是將該通解形式代入原方程\((1)\)，可以解得：$$u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$$將上式代入\((3)\)式，即可解得：$$y=e^{-\int P(x)dx}\cdot (\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$$這就是所謂常數變易法。
可以看到，這里把常數 \(C\) 直接代換為了函數\(u(x)\) ，顯得十分生硬不自然，沒有什么說服力。然而書上很少會對這個方法的由來作出介紹，所以想必會使很多人感到困惑。
錯誤的理解
對於常數變易法，我以前的理解是：
既然 \(y=Ce^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\) 可以使齊次方程 \(y' +P(x)y=0\) 成立，那么在其基礎上增添一個函數，就應該使得該方程運算結果多出一個與自由項相關的余項\(Q(x)\)，所以可以使用常數變易法。
這樣的理解是基於表面形式做出的一個解釋，然而還是不能夠明確地說明這個方法的正當性與正確性。
所以我們需要進一步探究其內在的原理。
常數變易法的原理
基本
容易理解，我們可以把任意函數表示成為兩個函數之積，即 $$y(x)=u(x)\cdot v(x)\tag4$$對 \(y(x)\) 求導，得：\(y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)
計算
將 \(y(x)=u(x)\cdot v(x)\)，\(y'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\) 代入非齊次方程\((1)\)，整理得到：$$u'(x)v(x)+u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]=Q(x)\tag5$$由解一階線性微分方程的常用方法分離變量法容易想到，如果沒有 \(u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\) 這一項，我們就可以簡便地利用分離變量法進行計算。
現在單獨考察 \(u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\) 這一項。其中 \(u(x)\) 不確定，不能用來保持 \(u(x)\cdot [v'(x)+P(x)v(x)]\not\equiv0\) ，所以考慮另一個因式 \(v'(x)+P(x)v(x)\) 。顯然 \(v(x)\) 是不確定的，在 \(u(x)\) 不確定的情況下，可以任意取值。則假設 \(v(x)\) 滿足 $$v'(x)+P(x)v(x)\equiv0\tag6$$ 觀察式 \((6)\) ，可以看到其形式與式 \((2)\) 基本一致。
求解式 \((6)\)，可以得其通解形式：$$v(x)=C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\tag7$$將所得通解代入 \((4)\)，則$$y(x)=u(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}(C\neq 0)\tag8$$將 \((8)\) 式代入 \((5)\) 式，得到：$$u'(x)\cdot C_1\cdot e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$$使用分離變量法，容易解得：$$u(x)=\frac1{C_1}\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}dx+C_2\tag9$$將 \((7)\) \((9)\) 同時代入式 \((4)\) ，則$$y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_1C_2)$$令\(C=C_1C_2\)，則得原一階線性微分方程的通解為：$$y(x)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$$
推廣
這一部分是在知乎看到了關於“常數變易法”在高階作用的問題之后增補的
問題鏈接：常數變易法思想的來源或本質是什么？
現在有一般\(n\)階線性微分方程$$P_{n}(x)y^{(n)}+P_{n-1}(x)y^{(n-1)}+P_{n-2}(x)y^{(n-2)}...+P_{1}(x)y'+P_{0}(x)y=Q(x)\tag{10}$$
由前述有，\(y(x)\)可以表示為\(y(x)=u(x)v(x)\)。
現在我們考察兩函數乘積的高階微分形式。
比較二項式展開定理我們不難發現，對\(y=uv\)的高階微分具有類似的形式。
比如：$$(uv)'=u'v+uv'$$$$(uv)''=(u'v+uv')'=u''v+2u'v'+uv''$$$$...$$
從原理上來看，展開多項式的每一項都應有\(n\)階微分，而這\(n\)階微分分別分配在\(u、v\)上；對於多項式的每一項，相當於任選\(k\)個微分算子作用於\(u\)，則另有\((n-k)\)個微分算子作用於\(v\)，與二項式展開定理本質相同，所以展開形式也應相同。
則有式\((11)\)：$$(uv)^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v^{(1)}+C_n^2u^{(n-2)}v^{(2)}+...+C_n^{n-1}u^{(1)}v^{(n-1)}+C_n^nuv^{(n)}\tag{11}$$
將這個一般形式代回式\((10)\)，假設將\(u\)作為主要研究對象（以\(v\)為主要研究對象亦可，二者地位相同），則按\(u\)的導數降階排列多項式：$$M_{n-1}(x)u^{(n)}+M_{n-2}(x)u^{(n-1)}+...+M_0(x)u'+\bigl(P_n(x)v^{(n)}+P_{n-1}(x)v^{(n-1)}+...+P_{1}(x)v'+P_0(x)v\bigr)u=Q(x)\tag{12}$$
其中，\(M_i(x)\)為關於\(x\)的多項式。
按一階情況下的原理，可以令多項式\(\bigl(P_n(x)v^{(n)}+P_{n-1}(x)v^{(n-1)}+...+P_{1}(x)v'+P_0(x)v\bigr)\equiv0\)消去\(u\)項。解\(v\)即為解式\(10\)對應的齊次線性微分方程。
則剩下的式子為$$M_{n-1}(x)u^{(n)}+M_{n-2}(x)u^{(n-1)}+...+M_0(x)u'=Q(x)$$
令\(\alpha(x)=u'(x)\)，則上式化為$$M_{n-1}(x)\alpha^{(n-1)}+M_{n-2}(x)\alpha^{(n-2)}+...+M_0(x)\alpha=Q(x)\tag{13}$$
比較式\((12)、(13)\)，可以看到：通過常數變易法，成功地把求解一個\(n\)階線性微分非齊次方程的問題，為了求解一個對應的\(n\)階線性微分齊次方程和一個\((n-1)\)階線性微分非齊次方程的問題。
總結
很顯然我們可以看到，常數變易法是蘊含了很深刻的數學思想、具有很強健的數學基礎的解題方法，並非無根之萍，更不是突發奇想或是強行合理。
但是從其原理上來講，將其稱呼為“常數變易法”是不太妥當的，本質上它並非是單純地使用一個函數來替代了齊次方程通解的常數。
常數變易法的稱呼應該說為了便於日常應用和直觀記憶，這里可以不必糾結。
參考資料
[1] lookof,常數變易法的解釋
[2] 崔士襄,邯鄲農業高等專科學校,“常數變易法”來歷的探討