$[Luogu]$ 洛谷 $P2766$ 題解【最長不下降子序列問題】

很不開心呢，明明有一點思路,卻還是沒寫出來啊QAQ

先來看題吧：

第一問明顯很好做，用一個普通的DP就可以搞定了

但是：重點來了，這個DP出來的f[i]f[i]數組對后面很有用呢

因為我們可以通過TA來確定出我們連邊的方式，這一點在后面會具體講到

接下來就是我們網絡最大流喜聞樂見的拆點大法惹

拆點大法吼哇

將每個數拆成一個入點，一個出點（對於第i個點，我們設入點為i.x,出點為i.y）

為了保證每個數只用一次（針對第二問）我們將i.x與i.y連一條流量為1的邊

找到所有只能做子序列開頭的數（即f[i]==1）將S與i.x連一條流量為1的邊

找到所有做滿足條件的子序列結尾的數（即f[i]==ans1）將i.y與T連一條流量為1的邊

然后跑一遍類似於DP的過程，將滿足條件的子序列的數挨個連起來，再做一遍網絡最大流就搞定了第二問

至於第三問，因為X1​與Xn​可以使用無限次

我們可以將X1​與Xn​內部的邊（即對於第i個點，i.x與i.y連的邊）流量建為INF，將S與X1​.x的邊流量改為INF，將Xn​.y與T的邊流量改為INF

再跑最大流，並將答案加在ans2上就是第三問的答案啦

上代碼QAQ

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int head[250001],num_edge=-1,s,t,n;
int a[501];
struct Edge
{
    int next,to,dis;
}edge[250001];
void push(int from,int to,int dis)
{
    edge[++num_edge].next=head[from];
    edge[num_edge].to=to;
    edge[num_edge].dis=dis;
    head[from]=num_edge;
}
void add(int u,int v,int val){
    push(u,v,val);
    push(v,u,0);
}
int d[250001],f[250001],cur[250001];
inline bool bfs()
{
    memset(d,0,sizeof(d));
    d[s]=1;
    queue<int> q;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int y=edge[i].to;
            if(!d[y]&&edge[i].dis)
            {
                d[y]=d[x]+1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    if(!d[t]) return 0;
    else return 1;
}
int dfs(int pos,int dis)
{
    if(pos==t) return dis;
    for(int i=cur[pos];i!=-1;i=edge[i].next)
      if(d[edge[i].to]==d[pos]+1&&edge[i].dis>0)
      {
          int data=dfs(edge[i].to,min(dis,edge[i].dis));
          if(data>0)
          {
              edge[i].dis-=data;
              edge[i^1].dis+=data;
              if(edge[i].dis) cur[pos]=i;
              return data;
        }
      }
    return 0;
}
inline int Dinic()
{
    int ans=0;
    while(bfs())
    {
        memcpy(cur,head,sizeof(cur));
        while(int data=dfs(s,0x3f3f3f3f))
          ans+=data;
    }
    return ans;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
      f[i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<i;j++)
        if(a[j]<=a[i])
          f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    int ans1=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      ans1=max(ans1,f[i]);
    cout<<ans1<<endl;
    s=0;
    t=n+n+1;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for(int i=1;i<=n;i++)
      add(i,i+n,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(f[i]==1) add(s,i,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(f[i]==ans1) add(i+n,t,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<i;j++)
        if(a[j]<=a[i]&&f[j]==f[i]-1)
          add(j+n,i,1);
    int ans2=Dinic();
    cout<<ans2<<endl;
    add(1,1+n,0x3f3f3f3f);
    add(s,1,0x3f3f3f3f);
    if(f[n]==ans1) add(n,n+n,0x3f3f3f3f),add(n+n,t,0x3f3f3f3f);
    ans2+=Dinic();
    cout<<ans2;
}