概述
今天要說一下機器學習中大多數書籍第一個講的（有的可能是KNN）模型-線性回歸。說起線性回歸，首先要介紹一下機器學習中的兩個常見的問題：回歸任務和分類任務。那什么是回歸任務和分類任務呢？簡單的來說，在監督學習中（也就是有標簽的數據中），標簽值為連續值時是回歸任務，標志值是離散值時是分類任務。而線性回歸模型就是處理回歸任務的最基礎的模型。
形式
在只有一個變量的情況下，線性回歸可以用方程：y = ax+b 表示。而如果有多個變量，也就是n元線性回歸的形式如下：
在這里我們將截斷b用θ0代替，同時數據集X也需要添加一列1用於與θ0相乘，表示+b。最后寫成矩陣的形式就是θ的轉置乘以x。其中如果數據集有n個特征，則θ就是n+1維的向量並非矩陣，其中包括截斷b。
目的
線性回歸的目的就是求解出合適的θ，在一元的情況下擬合出一條直線（多元情況下是平面或者曲面），可以近似的代表各個數據樣本的標簽值。所以最好的直線要距離各個樣本點都很接近，而如何求出這條直線就是本篇文章重點要將的內容。
最小二乘法
求解線性回歸模型的方法叫做最小二乘法，最小二乘法的核心就是保證所有數據偏差的平方和最小。它的具體形式是：
其中hθ(x^(i))代表每個樣本通過我們模型的預測值，y^(i)代表每個樣本標簽的真實值，m為樣本個數。因為模型預測值和真實值間存在誤差e，可以寫作：
根據中心極限定理，e^(i)是獨立同分布的(IID)，服從均值為0，方差為某定值σ的平方的正太分布。具體推導過程如下：
求解最小二乘法：
我們要求得就是當θ取某個值時使J(θ)最小，求解最小二乘法的方法一般有兩種方法:矩陣式和梯度下降法。
矩陣式求解：
當我們的數據集含有m個樣本，每個樣本有n個特征時，數據x可以寫成m*(n+1)維的矩陣（+1是添加一列1，用於與截斷b相乘），θ則為n+1維的列向量（+1是截斷b），y為m維的列向量代表每m個樣本結果的預測值。則矩陣式的推導如下所示：
因為X^tX為方陣，如果X^tX是可逆的，則參數θ得解析式可以寫成：
如果X的特征數n不是很大，通常情況下X^tX是可以求逆的，但是如果n非常大，X^tX不可逆，則用梯度下降法求解參數θ。
梯度下降法（GD）：
在一元函數中叫做求導，在多元函數中就叫做求梯度。梯度下降是一個最優化算法，通俗的來講也就是沿着梯度下降的方向來求出一個函數的極小值。比如一元函數中，加速度減少的方向，總會找到一個點使速度達到最小。通常情況下，數據不可能完全符合我們的要求，所以很難用矩陣去求解，所以機器學習就應該用學習的方法，因此我們采用梯度下降，不斷迭代，沿着梯度下降的方向來移動，求出極小值。梯度下降法包括批量梯度下降法和隨機梯度下降法（SGD）以及二者的結合mini批量下降法（通常與SGD認為是同一種，常用於深度學習中）。
梯度下降法的一般過程如下:
1）初始化θ（隨機）
2）求J(θ)對θ的偏導：
3）更新θ
其中α為學習率，調節學習率這個超參數也是建模中的一個重要內容。因為J(θ)是凸函數，所以GD求出的最優解是全局最優解。
批量梯度下降法是求出整個數據集的梯度，再去更新θ，所以每次迭代都是在求全局最優解。
而隨機梯度下降法是求一個樣本的梯度后就去跟新θ，所以每次迭代都是求局部最優解，但是總是朝着全局最優解前進，最后總會到達全局最優解。
其他線性回歸模型：
在機器學習中，有時為了防止模型太復雜容易過擬合，通常會在模型上加入正則項，抑制模型復雜度，防止過擬合。在線性回歸中有兩種常用的正則，一個是L1正則，一個是L2正則，加入L1正則的稱為Lasso回歸，加入L2正則的成為Ridge回歸也叫嶺回歸。
以下是個人所寫的線性回歸代碼：
各個回歸模型參數與結果對比以及與真實值的圖像
待更新。
詳細代碼可參考GitHub:代碼鏈接