時間復雜度分析有哪些？
- 最好情況時間復雜度（best case time complexity）
- 最壞情況時間復雜度（worst case time complexity）
- 平均情況時間復雜度（average case time complexity）
- 均攤時間復雜度（amortized time complexity）
最好、最壞情況時間復雜度
最好情況時間復雜度就是在最理想的情況下，執行這段代碼的時間復雜度。
最好情況時間復雜度就是在最糟糕的情況下，執行這段代碼的時間復雜度。
來看看下面這段代碼：
1 // n 表示數組 array 的長度 2 int find(int[] array, int n, int x) { 3 int i = 0; 4 int pos = -1; 5 for (; i < n; ++i) { 6 if (array[i] == x) { 7 pos = i; 8 break; 9 } 10 } 11 return pos; 12 }
上面這段代碼要實現的功能是：在一個數組中查找變量 x 出現的位置，如果找到了，就馬上跳出循環，返回它的位置值；如果找不到，就返回 -1。
這里不能只是看到了 for 循環就判定其時間復雜度為 O(n)，因為這個數組的順序是不確定的，有可能數組中的第一個元素就是 x，那就可以馬上結束循環了，其時間復雜度就是 O(1)；如果數組中不存在變量 x 或者是數組中的最后一個元素才是 x，那就需要遍歷整個數組，時間復雜度就是 O(n)。
在這里，O(1) 就是最好情況時間復雜度，O(n) 就是最壞情況時間復雜度。
平均情況時間復雜度
最好、最壞情況時間復雜度都是極端情況下的代碼復雜度，發生的概率很小。因此，我們還需要知道平均情況時間復雜度。
還是以剛剛查找變量 x 的位置的例子為例，要查找的變量 x 在數組中的位置，總共有 n+1 種情況：在數組的 0~n-1 位置中和不在數組中。我們把每種情況下，查找需要遍歷的元素個數累加起來再除以 n+1，就可以得到需要遍歷的元素個數的平均值，即：
1 + 2 + 3 + …… + n + n / n + 1 = n(n+1)+2n / 2(n+1) = n(n+3) / 2(n+1)
省略掉系數、低階、常量，將以上公式進行簡化之后，得到的平均時間復雜度就是 O(n)。
但是，以上的 n+1 種情況，出現的概率也不是一樣的。這里可以引入概率論的相關知識，假設變量 x 在數組中與不在數組中的概率各為 1/2，出現在 0~n-1 這 n 個位置的概率都是 1/n。根據概率乘法法則，要查找的數據出現正在 0~n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。
這樣，就可以得到以下計算過程：
1 x 1/2n + 2 x 1/2n + 3 x 1/2n + …… + n x 1/2n + n x 1/2n = n(n+1)+2n / 2 x 1/2n = 3n+1 / 4
這個值就是概率論中的加權平均值，也叫做期望值。
根據這個加權平均值，去掉系數和常量，我們得到的平均時間復雜度也是 O(n)。
所以，平均時間復雜度就是：加權平均時間復雜度（亦稱為期望時間復雜度）。
大部分情況下，我們並不需要區分最好、最壞、平均三種復雜度，平均復雜度只在某些特殊情況下才用到。
均攤時間復雜度
均攤時間復雜度：對一個數據結構進行一組連續操作中，大部分情況下時間復雜度都很低，只有個別情況下時間復雜度較高。而且這些操作之間存在前后連貫的時序關系，在這個時候，我們可以將這一組操作放在一塊兒分析，看是否能將較高時間復雜度那次操作的耗時，平攤到其他那些時間復雜度較低的操作上。（在能夠應用均攤時間復雜度分析的場合，一般均攤時間復雜度就等於最好情況時間復雜度）
均攤時間復雜度的應用場景比平均時間復雜度更加特殊、更加有限。
舉個例子：
1 // array 表示一個長度為 n 的數組 2 // 代碼中的 array.length 就等於 n 3 int[] array = new int[n]; 4 int count = 0; 5 6 void insert(int val) { 7 if (count == array.length) { 8 int sum = 0; 9 for (int i = 0; i < array.length; ++i) { 10 sum = sum + array[i]; 11 } 12 array[0] = sum; 13 count = 1; 14 } 15 16 array[count] = val; 17 ++count; 18 }
這段代碼實現的是往一個數組中插入數據的功能，當數組滿了以后，也就是 count == array.length 的時候，我們用 for 循環遍歷數組求和，再將新的數據插入，其時間復雜度為 O(n)。但如果數組未滿，則直接將數據插入數組，其時間復雜度為 O(1)。
我們來分析一下它的時間復雜度，數組的長度為 n，根據數據插入的不同位置，可以分為 n 種情況，每種情況的時間復雜度為 O(1)。還有一種最“糟糕”的情況，那就是數組已滿，這個時候的時間復雜度為 O(n)。而且，這 n+1 種情況發生的概率是一樣的，都是 1/(n+1)。所以，根據加權平均的計算方法，可知：
1 x 1/n+1 + 1 x 1/n+1 + …… + 1 x 1/n+1 + n x 1/n+1 = 1
我們求得的平均時間復雜度就是：O(1)。
對比一下 insert() 的例子和前面 find() 的例子，這兩個例子的最好、最壞情況時間復雜度都一樣，為什么平均時間復雜度相差這么多呢？
這兩個例子之間最大的區別在於：find() 的最好、最壞情況時間復雜度都是在極端情況下才會發生，而 insert() 在大部分情況下，時間復雜度都是 O(1)，只有在極端情況下，時間復雜度才是 O(n)。其次，對於 insert() 函數來說，每當碰到一個時間復雜度為 O(n) 的情況，接下來就會有 n-1 個 O(1) 的插入操作，循環往復。
均攤下來，這一組連續的操作的均攤時間復雜度就是 O(1)。這就是均攤時間復雜度分析的大致思路。
內容小結
最好、最壞情況時間復雜度分析起來比較簡單，但平均、均攤時間復雜度分析相對比較復雜。
之所以分為這四種復雜度分析，是因為在不同輸入的情況下，復雜度量級有可能是不一樣的。