在Matlab中fft就是一個現成的函數，看別人的代碼模仿着用了，但是不懂FFT畫出來的圖什么意思？本文對這篇博文中分析的例子進行了學習。
FFT（Fast Fourier Transformation）為一階快速傅里葉變換函數，在數字信號處理中有着廣泛的應用，變換結果為復數。有些信號在時域上很難看出變化特征，但如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。FFT把時域信號變換到頻域上，直觀的看各頻率上的信號強弱。
一個模擬信號，經過ADC采樣之后，就變成了數字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大於信號頻率的兩倍。采樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。做FFT分析時，幅值大小與FFT選擇的點數有關，但是不影響分析結果。
假設采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數為N。那么FFT之后結果就是一個為N點的復數。每一個點就對應着一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關系呢？假設原始信號的峰值為A，那么FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數關系。
假設FFT之后某點n用復數a+bi表示，那么這個復數的模就是An=sqrt(a*a+b*b)，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的信號的表達式為：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn) (1)
即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對於n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。
由於FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於采樣頻率一半的結果。
假設有一個信號由如下三個分量組成：1）一個2V的直流分量；2）一個頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號；3）一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。其數學表達如下：
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos參數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。
假設以256Hz的采樣率對這個信號進行采樣，總共采樣256點。由前面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，可知：每兩個點之間的間距為1Hz，第n個點的頻率就是n-1。信號S有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。
從圖中可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有較大值。分別將這三個點附近的數據拿上來細看：
用Z = fft(S);
Y 模值Z
第1個點： 512 512
第2個點： 5.2686e-16- 1.4128e-13i 1.4129e-13
第3個點： 2.1411e-15- 1.1718e-13i 1.1720e-13
第50個點： 1.8103e-12- 1.3394e-12i 2.2519e-12
第51個點： 2.9281e+02+ 2.4843e+02i 384
第52個點： 9.3193e-13- 2.0432e-12i 2.2457e-12
第75個點： 1.0239e-12+ 5.0058e-14i 1.0251e-12
第76個點： -1.8505e+02- 5.1209e+01i 192.0000
第77個點： -7.2171e-13- 2.2549e-13i 7.5612e-13
用Z =fft(S,N);
Y 模值Z
第1個點： 512.0000 512.0000
第2個點： -2.6195e-14- 1.4162e-13i 1.4402e-13
第3個點： -2.8586e-14- 1.1898e-13i 1.2237e-13
第50個點： -6.2076e-13- 2.1713e-12i 2.2583e-12
第51個點： 3.3255e+02 - 1.9200e+02i 384.0000
第52個點： -1.6707e-12- 1.5241e-12i 2.2614e-12
第75個點： -2.2199e-13- 1.0076e-12i 1.0317e-12
第76個點： 3.4386e-12 + 1.9200e+02i 192.0000
第77個點： -3.0263e-14+ 7.5609e-13i 7.5670e-13
很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。
接着，我們來計算各點的幅度值。由公式（1）可知，給定模值An，它對應的幅度為：An/(N/2)。對於n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。因此，直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。
然后再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236，結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz信號的相位，atan2(192,3.4386e-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。
總結：假設采樣頻率為Fs，采樣點數為N，做FFT之后，某一點n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度（對於直流信號是除以N）；該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒的信號，並做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關文獻。
注意：
Z = fft(S,N);
Z = fft(S);
計算出來的精確的Z值不一樣。
subplot(2,1,2),plot(abs(fftshift(fft(S)))),title('S fftshift');
參考：
http://blog.sina.com.cn/s/blog_640029b301010xkv.html
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