1、消元知識點腦圖##
2、消元法##
消元是求解方程組的過程。初中時期我們學習過通過方程之間的加減操作，消除某個變量的系數，簡化方程，最終求出變量值。在線性代數里，將消元進一步系統化，因此引入了幾個概念。我們以一組方程為例。
\[\begin{cases} & \text x+ 2y + z = 2 & (1)\\ & \text 3x+8y+z=12 & (2)\\ & \text 4y+z=2 & (3) \end{cases} \]
我們用矩陣形式來表示該方程組。
\[\begin{bmatrix} 1&2 &1 \\ 3&8 &1 \\ 0&4 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{bmatrix} \]
簡化后是
\[AX=b \]
（1）組成增廣矩陣###
\[\begin{bmatrix} 1&2 &1 &2\\ 3&8 &1 &12\\ 0&4 &1 &2 \end{bmatrix} \]
增廣矩陣是系數矩陣A與b向量合並后的矩陣，下面我們通過這個增廣矩陣來進行消元，使得方程左右兩邊同時變化。大家不理解的時候可以想想方程組的變化。
（2）消元(2,1)元素###
這步消元是消除方程2的x變量。
\[\begin{bmatrix} \underline{1}&2 &1 &2 \\ 3&8 &1 &12\\ 0&4 &1 &2 \end{bmatrix} \overset{(2,1)}{\rightarrow} \begin{bmatrix} 1&2&1 &2\\ 0&2&-2 &6\\ 0&4&1 & 2 \end{bmatrix} \]
首先選擇(1,1)元素作為主元(圖中畫下划線)，消元(2,1)元素。執行如下操作：
\[Row2 = Row2 + Row1\times (-3) \]
（3）消元(3,1)元素
這一步是消除方程3的(3,1)元素，因為方程3的(3,1)元素為0所以不用繼續，若不為0，可以參照步驟2。
（4）消元(3,2)元素
下面進一步消除第三行y的系數。先確定主元(2,2)，大家可以思考下如果(2,2)是0如何操作？
\[\begin{bmatrix} 1&2&1 &2\\ 0&{\underline{2}}&-2 &6\\ 0&4&1&2 \end{bmatrix} \]
執行消除(3,2)
\[Row3 = Row3 + Row2\times(-2) \]
變化如下：
\[\begin{bmatrix} 1&2&1 &2\\ 0&{\underline{2}}&-2 &6\\ 0&4&1 &2 \end{bmatrix}\overset{(3,2)}{\rightarrow} \begin{bmatrix} 1&2&1 &2\\ 0&2&-2 &6\\ 0&0&5&-10 \end{bmatrix} \]
（5）回代###
經過上面步驟消元后的矩陣等式變成：
\[\begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 0&2&-2 \\ 0&0&5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\ 6\\ -10 \end{bmatrix} \]
這里的系數矩陣左下角都是0，稱為上三角矩陣(Upper triangular)簡稱U。
先求出z，代入第二行求出y，最后代入第一行求出x。
\[\begin{cases} & x=2 \\ & y=1 \\ &z=-2 \end{cases} \]
主元：是指在消元過程中起主導作用的元素。
3、消元矩陣##
上面的步驟我們還是按照傳統求解方程組的形式進行消元，現在我們切換到矩陣形式，以矩陣的語言來表示上面的消元矩陣。
參考第一節的方式簡化消元后的矩陣。
令
\[U=\begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 0&2&-2 \\ 0&0&5 \end{bmatrix} \]
\[c=\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{bmatrix} \]
矩陣方程可以簡化為
\[UX=c \]
那這樣只要將A與某個矩陣相乘得到U，就能算出整個方程組的解了：
\[?A=U \]
按照上面的消元步驟，分兩步變化：
\[E_{32}(E_{21}A)=U \]
這里的E稱為初等矩陣，乘法的結合律在這里依然適用（交換律不適用）於是整個式子就變成了：
\[(E_{32}E_{21})A=U \]
這里要首先介紹下矩陣變換
令
\[A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix} \\ B=\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13} \\ b_{21}&b_{22}&b_{23} \\ b_{31}&b_{32}&b_{33} \end{bmatrix} \]
（1）矩陣相乘###
\[\small{C=AB \\ = \begin{bmatrix} c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}&c_{13}=a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33} \\ c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}&c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}&c_{23}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33} \\ c_{31}=a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31}&c_{32}=a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32}&c_{33}=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33} \end {bmatrix} （1）} \]
\[=\small{\begin{bmatrix} c_{11}=ARow1*BCol1&c_{12}=ARow1*BCol2&c_{13}=ARow1*BCol3 \\ c_{21}=ARow2*BCol1&c_{22}=ARow2*BCol2&c_{23}=ARow2*BCol3\\ c_{31}=ARow3*BCol1&c_{32}=ARow3*BCol2&c_{33}=ARow3*BCol3 \end {bmatrix} （2）} \]
\[ =\small{\begin{bmatrix} col1=A\begin{bmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{bmatrix}& col2=A\begin{bmatrix} b_{12}\\b_{22}\\b_{32} \end{bmatrix} & col3=A\begin{bmatrix} b_{13}\\b_{23}\\b_{33} \end{bmatrix} \end {bmatrix} （3） } \]
\[ =\small{\begin{bmatrix} row1=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{bmatrix}B \\ row2=\begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}B \\ row3=\begin{bmatrix} a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}B \end {bmatrix} （4）} \]
可以看出A決定了C的行，B決定了C的列。從行的角度理解，C的每行就是B各行按照A對應行向量的線性組合；從列的角度理解，C的各列就是A各列按照B對應列向量的線性組合。
（2）計算E###
根據上面提供的矩陣相乘（第三種）的思路。首先計算出
\[E_{21}=\begin {bmatrix} 1&0&0 \\ -3&1&0 \\ 0&0&1 \end {bmatrix} \\ E_{32}=\begin {bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-2&1 \end {bmatrix} \\ E = E_{32}E_{21} = \begin {bmatrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 6&-2&1 \end {bmatrix} \]
大家可以代入式中計算下
\[EA=U \]
是否成立。
4、逆##
上面的E我們是依靠消元的步驟求出，並不是完全采用矩陣的形式。數學家們使用了另一種辦法。
\[EA=U \\ 只需 E^{-1}EA=E^{-1}U => A=E^{-1}U \]
也就是先求E的逆矩陣，再求E。關於逆會在后續介紹。
5、矩陣置換##
有一類特殊矩陣，可以交換矩陣的行或列。這類矩陣就是置換矩陣。例如
\[I= \begin {bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end {bmatrix} \]
對角線為1，其余為0的矩陣為單位矩陣，任何矩陣有AI=IA=A。而將單位矩陣某些行或列交換形成的矩陣稱為置換矩陣記為P。
（1）行交換###
交換1，2行
\[PA= \begin {bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end {bmatrix}=\begin {bmatrix} d&e&f\\ a&b&c\\ g&h&i \end {bmatrix} \]
要交換行，只需先交換I的指定行，然后左乘矩陣。
（2）列交換###
交換1，2列
\[AP= \begin {bmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end {bmatrix} \begin {bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} b&a&c\\ e&d&f\\ h&g&i \end {bmatrix} \]
要交換列，只需先交換I的指定列，然后左乘矩陣。
