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高斯金字塔：
背景知識：
我們都知道，在處理圖像的過程中，由於圖像中某個像素與相鄰像素之間的有很強的相關性，即不管是從紋理還是從灰度級都很相似（CRF的性質，個人理解：一副圖像應該就可以看做是一個CRF吧？）
- 如果物體的尺寸很小或者說對比度不高，通常則需要采用較高的分辨率來觀察。
- 如果物體的尺寸很大或者說對比度很強，那么就僅僅需要較低的分辨率就能夠來傳觀了。
- 那如果現在物體的尺寸有大有小，對比度有強有弱，這些關系同時存在，這個時候我們該采用何種分辨率呢？
沒錯，這個時候，只能上多分辨率處理了。
圖像金字塔：
在講高斯金字塔之前，我們先來講講什么是圖像金字塔吧。圖像金字塔就是為了以多分辨率來解釋圖像而誕生的一種簡單有效的方法。
概念：
- 一幅圖像的金字塔，是以一系列以金字塔形狀排列的分辨率初步降低的圖像的集合。如下圖所示：
- 金字塔的底部是待處理圖像的高分辨率的表示，而頂部是低分辨率的表示
- 當金子塔向上層移動的時候，尺寸和分辨率都會降低。
- 假設基礎級（也就是最底層）的尺寸為
或者用log表示， 
- 那么金字塔中間任意一級j的尺寸大小為：
![2^j \times 2^j, j \in [0,J]](/image/aHR0cHM6Ly93d3cuemhpaHUuY29tL2VxdWF0aW9uP3RleD0yJTVFaislNUN0aW1lcysyJTVFaiUyQytqKyU1Q2luKyU1QjAlMkNKJTVE.png)
，所以說，一個完整的圖像金字塔可以由 
個分辨率集所組成。
OK，有關圖像金字塔的概念就講完了，大家感覺是不是很簡單呢？現在就來說說什么高斯金字塔。
其實，在構造上述金字塔的過程中，遵循了如下的流程：
- 拿到第j級的圖像后，先通過一個低通filter，這個filter可以選取我們前面學過的任何一個filter。比如理想低通，巴特沃斯，高斯低通。然后在進行以2為步長的下采樣。
- 這個時候，步驟執行到了一個交匯點處，我們先忽略掉內插器和插入濾波那一部分，那么直接將剛剛第一步得到的結果輸出，就得到了j-1級的近似圖像。
- 然后通過第一步+第二步不停的迭代，直到最終輸出0級的圖像就結束。這個時候，把所有得到的近似圖像按照尺寸從大到小進行堆疊，就得到了前面講的圖像金字塔。
其實，高斯金字塔的構造過程就是上述的這個過程，只不過在一開始進行濾波的時候，我們只能選擇用高斯低通濾波器進行濾波。那有的讀者可能會問，什么是高斯低通濾波器呢？當然，我們還是分別從空域和時域來講：
- 空域一維形式：
- 頻域二維形式：
而頻域二維形式往往是我們用的最多的,D(u,v)表示的是(u,v)距離傅里葉變換原點的距離，並且這個原點是經過中心化后的。高斯濾波器在頻域的二維形式中有一個非常重要的參數，那就是 
，它表示的是高斯濾波器的帶寬，決定了平滑的程度， 越大，那么該filter對應的頻帶就越寬，平滑程度就越好。
有了上面的介紹后，高斯金字塔就能被我們構建出來了。它其實就是在圖像金字塔的構建過程中，增加了兩個步驟：
- 第一步的濾波必須選用高斯低通filter
- 通過使用不同的 來調節filter的頻帶寬度，得到經過不同filter相同尺寸的同一組octave
構建結果如下所示：
其中的每個octave可以看做是一組圖像，這一組圖像中的所有圖像的分辨率相同，但是采用了不同頻帶的濾波函數，從模糊的程度上看是有區別的。不同組(octave)之間的圖像具有不同的分辨率，在尺度上的差別就更大了。
通過以上步驟建立起來的金字塔就是高斯金字塔了。
最后，來總結下，在圖像處理和計算機視覺中，高斯核函數的五個重要性質，這些性質使得它在早期圖像處理中特別有用．這些性質表明，高斯平滑濾波器無論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，：
- 二維高斯函數具有旋轉對稱性，即濾波器在各個方向上的平滑程度是相同的．一般來說，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無法確定一個方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋轉對稱性意味着高斯平滑濾波器在后續邊緣檢測中不會偏向任一方向。
- 高斯函數是單值函數。這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權均值來代替該點的像素值，而每一鄰域像素點權值是隨該點與中心點的距離單調增減的。這一性質是很重要的，因為邊緣是一種圖像局部特征，如果平滑運算對離算子中心很遠的像素點仍然有很大作用，則平滑運算會使圖像失真。
- 高斯函數的傅里葉變換頻譜是單瓣的。這一性質是高斯函數傅里葉變換等於高斯函數本身這一事實的直接推論。圖像常被不希望的高頻信號所污染(噪聲和細紋理)。而所希望的圖像特征（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量．高斯函數傅里葉變換的單瓣意味着平滑圖像不會被不需要的高頻信號所污染，同時保留了大部分所需信號。
- 高斯濾波器寬度(決定着平滑程度)是由參數σ表征的，而且σ和平滑程度的關系是非常簡單的．σ越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好。通過調節平滑程度參數σ，可在圖像特征過分模糊(過平滑)與平滑圖像中由於噪聲和細紋理所引起的過多的不希望突變量(欠平滑)之間取得折衷。
- 由於高斯函數的可分離性，大高斯濾波器可以得以有效地實現。二維高斯函數卷積可以分兩步來進行，首先將圖像與一維高斯函數進行卷積，然后將卷積結果與方向垂直的相同一維高斯函數卷積．因此，二維高斯濾波的計算量隨濾波模板寬度成線性增長而不是成平方增長。
拉普拉斯金字塔：
講完高斯金字塔，我們再回到這張圖：
如果此刻考慮到內插器和插入濾波器的部分，那么此時通過將經過高斯低通濾波器和下采樣后的圖片經過這兩個組件。其實，就是在對這組圖像進行近似重建，因為這個過程的所有操作剛剛好和上一個過程（高斯低通濾波器+下采樣）是逆過來。
那么通過將重建后的圖像和原始的第j級的輸入圖像進行相減，就得到了j級的預測殘差，此時得到的就是拉普拉斯金字塔了。拉普拉斯金字塔的作用是重建高斯金字塔。