自然數到底可以表示到多大?

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　　作者：窗戶

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　　從很小我們 就知道，自然數有無限多個。

　　小朋友都對巨大的數有一種天然的憧憬，以至於很多人都會想過這么一個問題，我們可以表示出多大的數？

　　小的時候，我就幻想着，我拿着一支筆，然后不斷的寫9，然后所寫的這個數就可以非常非常大了。長大一點才知道，這個根本不算什么，隨便一個乘方就把它秒殺了。

　　以下我們來看看 遞歸 的神奇。

　　

　　Ackermann函數

 

　　我想幾乎每個正統學習計算機的同學都見過Ackermann函數，

　　Ackermann函數帶兩個參數，兩個參數都是非負整數。

　　其定義如下：

　　對於Ackermann(m,n)，

　　(1) 如果m=0，則函數值為n+1

　　(2) 如果m>0且n=0,則函數值同Ackermann(m-1,1)

　　(3) 如果函數m>0且n>0，則函數值同Ackermann(m-1, Ackermann(m, n-1))

　　這個函數很恐怖，Ackermann(4,0)=13，Ackermann(4,1)=65533, Ackermann(4,2)有 19729 位，Ackermann(4,3)天知道……

　　

 

　　

　　運算符號的演化

 

　　我們最先學會的運算符號是加法，很快我就學會了相同的數連加。

　　8個2相加，寫起來如下

　　2+2+2+2+2+2+2+2

　　

　　顯然，連加的寫法過於累贅，於是我們又學習了乘法，上述的式子可以寫成

　　2×8

　　於是頓時簡潔了很多。

　　注：根據不同理解，也有表示為8×2

 

　　自然而然，我們想到了連乘，它可以表達挺大的數了。

　　8個2相乘，寫起來如下

　　2×2×2×2×2×2×2×2

　　於是有了乘方來簡化，上述表示為2⁸

　　

　　有了乘方，終於有了第一個大殺器。我們可以連着寫乘方，以乘方的結果作為后面乘方的指數，如同連加、連乘那樣，比如

　　

　　它運算的結合是從上往下結合，這個數是很誇張的大，這個宇宙不夠存儲它的十進制下每一位。

 

　　

　　高德納箭頭

 

　　提起高德納Knuth，應該計算機界的人都知道吧，我也不用多介紹了。

　　他以連加、連乘、連乘方為思路基礎，提出了高德納箭頭這樣的運算符。

　　

　　a↑b = a^b

　　a↑↑b = a↑a...↑a 　　(一共有b個a)

　　a↑↑↑b = a↑↑a...↑↑a　　(一共有b個a)

 　　...

　　a ↑ⁿ b = a ↑^n-1 a ... ↑^n-1 a　　(一共b個a)

　　↑ⁿ 我這里表示為n個箭頭。

　　高德納箭頭是從右向左結合，比如3↑3↑3就是3↑(3↑3)

　　之前提到的

　　

　　用高德納箭頭表示應該是2↑↑6

　　這個數箭頭只有2個，前后數字都很小，但是已經非常可怕的大了。

　　

　　葛立恆數

　　

　　這是曾經出現在數學證明中最大的自然數，不過后面被另外一個數學證明中的TREE(3)刷新紀錄。這兩個數都與圖的染色有關，此處不深入。

　　

　　葛立恆數是如下表示的：

　　g(0) = 4

　　g(1) =  3 ↑^g(0) 3

　　g(2) =  3 ↑^g(1) 3

　　...

　　g(64) = 3 ↑^g(63) 3

　　g(64)就是葛立恆數，這個數是誇張的大，別說數本身，就連它的箭頭的個數g(63)，人們也無法理解它的大小。

　　其實就連g(1)，人們已經無法理解其大小，甚至理解不了g(1)的大小的大小的大小的......大小。

 

　　

 

　　Scheme來表示高德納箭頭

 

　　因為高德納箭頭的高階箭頭有個很簡單的往低階箭頭上展開的關系，所以用Scheme很容易表示，畢竟Lisp是很容易表示遞歸的。

　　

(define (knuth n m cnt_arrow)
 (define (knuth-list lst cnt_arrow)
  (cond
   ((null? (cdr lst)) (car lst))
   ((= 1 cnt_arrow) (knuth-list (cons (expt (cadr lst) (car lst)) (cddr lst)) 1))
   (else (knuth-list (cons (knuth-list (make-list (car lst) (cadr lst)) (- cnt_arrow 1)) (cddr lst)) cnt_arrow))
  )
 )
 (knuth-list (list m n) cnt_arrow)
)

 

　　當然，上面只是表示出了其遞歸關系，在現有宇宙下計算不出來^_^比如之前那6個2我們肯定就算不出來，但是5個2也就是2↑↑5我們還是有希望的。

　　(knuth 2 5 2)計算結果就不貼了，是一個 19729 位的數，其實等於Ackermann(4,3)+3。

 

　　而之前葛立恆數雖然根本算不出來，但用Scheme表示還是很容易的。

　　

(define Graham-Number
 (define (g n)
  (if (zero? n) 4
   (knuth 3 3 (g (- n 1)))
  )
 )
 (g 64)
)

 

 

　　康威鏈式箭頭

　　

　　Conway，著名的生命游戲的提出者，英國數學家。

　　他發明的康威鏈式箭頭是個比高德納箭頭還恐怖的東西。

　　所謂鏈式箭頭，是一串用箭頭串在一起的正整數，比如

　　3->5

　　2->3->2

　　3->4->5->6

　　當然，只有一個數也算，那么值就是數本身。鏈長至少為1。

　　另外，康威鏈式箭頭和高德納箭頭不一樣，高德納箭頭是運算符，康威鏈式箭頭只是用來連接一個序列。

 

　　康威鏈式箭頭怎么計算呢？

　　它一共有5條規則，

　　(1) 如果鏈里面只有一個數a，那么值就是a本身

　　(2) 如果鏈里面有兩個數，a->b，那么值為a^b

　　(3) 如果鏈長超過2，鏈形如X->a->1，其中X是一條鏈，那么原鏈就等於X->a，也就是鏈長減1

　　(4) 如果鏈長超過2，鏈形如X->1->(a+1)，其中X是一條鏈，a是正整數（也就是最后一個數大於1，其實等於1也滿足，只是同時滿足兩條規則），原鏈值同鏈X

　　(5) 如果鏈長超過2，鏈形如X->(a+1)->(b+1)，其中X是一條鏈，a、b是正整數（也就是鏈尾的兩個數都大於1），原鏈值同X->(X->a->(b+1))->a

 

　　以上5條規則構造出了比高德納箭頭更瘋狂的東西。

　　瘋狂在哪里呢？之前的葛立恆數g(64)已經很大了，可是以下不等式成立

　　3->3->64->2 < g(64) < 3->3->65->2

　　3->3->65->2 < 3->3->3->3

　　簡單的4個3，秒天秒地

 

　　以上遞歸很明顯，很工整，用Scheme一樣表示，鏈式箭頭的序列就用Scheme里的list直接就可以表示了：

　　

(define (conway lst)
 (define (conway_rev lst)
  (cond
   ((null? (cdr lst)) (car lst)) ;規則1
   ((null? (cddr lst)) (expt (cadr lst) (car lst))) ;規則2
   ((= 1 (car lst)) (conway_rev (cdr lst))) ；規則3
   ((= 1 (cadr lst)) (conway_rev (cddr lst))) ;規則4
   (else (conway_rev (cons (- (car lst) 1) (cons (conway_rev (cons (car lst) (cons (- (cadr lst) 1) (cddr lst)))) (cddr lst))))) ;規則5
  )
 )
 (conway_rev (reverse lst))
)

 

　　於是，剛才秒天秒地的3->3->3->3就是(conway '(3 3 3 3))