隨機算法
1. 蒙特卡羅模擬
蒙特卡羅（Monte Carlo）方法，又稱隨機抽樣或統計試驗方法，是以概率和統計理論方法為基礎的一種計算方法
使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。
將所求解的問題同一定的概率模型相聯系，用電子計算機實現統計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。
① π的計算
② 計算積分 y = x**2
③ 排隊上廁所問題
import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt % matplotlib inline
# π的計算 from matplotlib.patches import Circle n = 10000 # 投點次數 r = 1.0 # 半徑 a, b = (0.0, 0.0) # 圓心 # 圓的信息 x_min, x_max = a-r, a+r y_min, y_max = b-r, b+r # 正方形區域邊界 x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) # 均勻分布 y = np.random.uniform(y_min, y_max, n) # 在正方形區域內隨機投點 # numpy.random.uniform(low,high,size) → 從一個均勻分布[low,high)中隨機采樣，均勻分布 fig = plt.figure(figsize=(6, 6)) axes = fig.add_subplot(1, 1, 1) plt.plot(x, y, 'ro', markersize = 1) plt.axis('equal') # 制圖 d = np.sqrt((x - a)**2 + (y - b) ** 2) res = sum(np.where(d < r, 1, 0)) # 計算點到圓心的距離 # 統計落在圓內的點的數目 pi = 4 * res / n print(pi) circle = Circle(xy = (a,b),radius = r, alpha = 0.5 ,color = 'gray') axes.add_patch(circle) plt.grid(True, linestyle = "--",linewidth = "0.8") plt.show() # 繪制圓形
# 計算積分 y = x**2 n = 10000 # 投點次數 x_min, x_max = 0.0, 1.0 y_min, y_max = 0.0, 1.0 # 矩形區域邊界 x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) # 均勻分布 y = np.random.uniform(y_min, y_max, n) # 在矩形區域內隨機投點 def f(x): return x**2 # 創建函數 y = x**2 res = sum(np.where(y < f(x), 1, 0)) # 統計 落在函數 y=x^2圖像下方的點的數目 integral = res / n print('integral: ', integral) # 計算 定積分的近似值 fig = plt.figure(figsize = (6,6)) axes = fig.add_subplot(111) axes.plot(x, y,'ro',markersize = 1) plt.axis('equal') # 繪制散點圖 xi = np.linspace(0,1,100) yi = xi ** 2 plt.plot(xi,yi,'--k') plt.fill_between(xi, yi, 0, color ='gray',alpha=0.5,label='area') plt.grid() # 繪制 y = x**2 面積圖
# 廁所排隊問題 # 1、兩場電影結束時間相隔較長，互不影響； # 2、每場電影結束之后會有20個人想上廁所； # 3、這20個人會在0到10分鍾之內全部到達廁所）； # 4、每個人上廁所時間在1-3分鍾之間 # 首先模擬最簡單的情況，也就是廁所只有一個位置，不考慮兩人共用的情況則每人必須等上一人出恭完畢方可進行。 # 分析：對於每個人都有如下幾個參數： # 到達時間 / 等待時間 / 開始上廁所時間 / 結束時間 arrivingtime = np.random.uniform(0,10,size = 20) arrivingtime.sort() workingtime = np.random.uniform(1,3,size = 20) # np.random.uniform 隨機數：均勻分布的樣本值 startingtime = [0 for i in range(20)] finishtime = [0 for i in range(20)] waitingtime = [0 for i in range(20)] emptytime = [0 for i in range(20)] # 開始時間都是0 #print('arrivingtime\n',arrivingtime,'\n') #print('workingtime\n',workingtime,'\n') #print('startingtime\n',startingtime,'\n') #print('finishtime\n',finishtime,'\n') #print('waitingtime\n',waitingtime,'\n') #print('emptytime\n',emptytime,'\n') print('------') startingtime[0] = arrivingtime[0] # 第一個人之前沒有人，所以開始時間 = 到達時間 finishtime[0] = startingtime[0] + workingtime[0] # 第一個人完成時間 = 開始時間 + “工作”時間 waitingtime[0] = startingtime[0]-arrivingtime[0] # 第一個人不用等待 for i in range(1,len(arrivingtime)): if finishtime[i-1] > arrivingtime[i]: startingtime[i] = finishtime[i-1] else: startingtime[i] = arrivingtime[i] emptytime[i] = arrivingtime[i] - finishtime[i-1] finishtime[i] = startingtime[i] + workingtime[i] waitingtime[i] = startingtime[i] - arrivingtime[i] print('第%d個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間\n' %i, arrivingtime[i], startingtime[i], workingtime[i], finishtime[i], waitingtime[i], '\n') print('arerage waiting time is %f' %np.mean(waitingtime)) print('------') # 判斷：如果下一個人在上一個人完成之前到達，則 開始時間 = 上一個人完成時間， # 否則 開始時間 = 到達時間，且存在空閑時間 = 到達時間 - 上一個人完成時間 fig = plt.figure(figsize = (6,4)) plt.plot(waitingtime, '-go') plt.grid(True,linestyle='--', color = 'gray',linewidth = '0.8') plt.title('蒙特卡羅模擬 - 排隊上廁所問題') plt.show() # 圖表繪制
--->>
------ 第1個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 1.47846212718 2.90015955179 2.43550313768 5.33566268947 1.42169742461 第2個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 1.50766524856 5.33566268947 1.70026811206 7.03593080153 3.82799744091 第3個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 1.68971606051 7.03593080153 2.55933351317 9.59526431469 5.34621474102 第4個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 3.22500117584 9.59526431469 2.23730595589 11.8325702706 6.37026313886 第5個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 3.68624845537 11.8325702706 1.96298225381 13.7955525244 8.14632181522 第6個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 3.748728758 13.7955525244 1.13434491219 14.9298974366 10.0468237664 第7個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 3.76353770932 14.9298974366 2.97251793218 17.9024153688 11.1663597273 第8個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 4.04448060386 17.9024153688 1.52642253332 19.4288379021 13.8579347649 第9個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 5.15292640194 19.4288379021 2.8327295047 22.2615674068 14.2759115002 第10個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 6.39798292569 22.2615674068 2.48704326285 24.7486106697 15.8635844811 第11個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 6.46150544161 24.7486106697 2.75523182998 27.5038424996 18.287105228 第12個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 6.83020450863 27.5038424996 2.82170691612 30.3255494157 20.673637991 第13個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 7.54986448877 30.3255494157 1.32813398415 31.6536833999 22.775684927 第14個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 7.74933683577 31.6536833999 2.01805818046 33.6717415804 23.9043465641 第15個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 8.42722353547 33.6717415804 1.0300259968 34.7017675772 25.2445180449 第16個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 8.76080737972 34.7017675772 1.69860652295 36.4003741001 25.9409601974 第17個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 9.02778847556 36.4003741001 2.19029299704 38.5906670971 27.3725856245 第18個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 9.0683463525 38.5906670971 1.74875934398 40.3394264411 29.5223207446 第19個人：到達時間 開始時間 “工作”時間 完成時間 等待時間 9.51437407844 40.3394264411 1.52156911323 41.8609955544 30.8250523627 arerage waiting time is 15.743466 ------
