構造完全圖(G)解題報告

題目描述

對於完全圖 G，若有且僅有一棵最小生成樹為 T，則稱完全圖 G 是樹 T 擴展出的。

給你一棵樹 T，找出 T 能擴展出的邊權和最小的完全圖 G。

輸入格式

第一行 N 表示樹 T 的點數；

接下來 N−1 行三個整數 Si,Ti,Di​i​​,T​i​​,D​i​​；描述一條邊（Si,TiS_i, T_iS​i​​,T​i​​）權值為 DiD_iD​i​​；

保證輸入數據構成一棵樹。

輸出格式

輸出僅一個數，表示最小的完全圖 G 的邊權和。

樣例

樣例輸入

4  
1 2 1  
1 3 1  
1 4 2

樣例輸出

12

樣例說明

添加 D(2,3)=2,D(3,4)=3,D(2,4)=3D(2, 3)=2, D(3, 4)=3, D(2, 4)=3D(2,3)=2,D(3,4)=3,D(2,4)=3 即可。

題目鏈接：https://loj.ac/problem/10067

解題思路：首先完全圖是指每兩個點之間都有連邊的圖，題目是要求一個邊權和最小的完全圖，

題目給出的是一個最小生成樹，我們可以從邊入手，把每條邊所連的左右兩個點分別看做一個集合，

左邊集合和右邊集合所要連的邊數是（cnt[i]*cnt[j]-1），我們要連的邊權是多大？不能比當前的邊還小，

那么就不滿足有且僅有一棵最小生成樹T，所以邊權就為（當前邊的邊權+1），我們可以貪心的去解決，

把邊從小到大排序，並查集一下就行了，當然還得加上原始邊的邊權。

 

代碼如下：

 

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm>
#define ll long long int
using namespace std; struct T{ ll u,v,w; }t[100005]; ll ans,n,cnt[100005],fa[100005]; ll find(ll x){ if(fa[x]!=x) return fa[x]=find(fa[x]); else
    return fa[x]; } bool cmp(T a,T b){return a.w<b.w;} int main(){ scanf("%lld",&n); for(ll i=1;i<=n-1;i++) scanf("%lld%lld%lld",&t[i].u,&t[i].v,&t[i].w),ans+=t[i].w; for(ll i=1;i<=n;i++){ fa[i]=i;cnt[i]=1; } sort(t+1,t+n,cmp); for(ll i=1;i<=n-1;i++){ ll r1=find(t[i].u); ll r2=find(t[i].v); if(r1!=r2){ ans+=(cnt[r1]*cnt[r2]-1)*(t[i].w+1);
            fa[r2]=r1; cnt[r1]+=cnt[r2]; } } printf("%lld",ans); return 0; }