全連接神經網絡 MLP

最近開始進行模型壓縮相關課題，復習一下有關的基礎知識。

1. MLP簡介

 

上圖是一個簡單的MLP，這是典型的三層神經網絡的基本構成，Layer L1是輸入層，Layer L2是隱含層，Layer L3是隱含層。

為了方便下面的公式描述，引入一張帶公式的圖。

i是input層，h是hide層，o是output層。

2. MLP 正向傳播

正向傳播其實就是預測過程，就是由輸入到輸出的過程。

為之前的圖片賦上初值， 

 

上述變量中，存在着如下過程：原始輸入-> 帶權計算-> net_h1-> 激活函數-> out_h1

同理，可以計算另一個隱層net_h2, out_h2，以及輸出層net_o1, net_o2, out_o1, out_o2

此時在輸出端我們可以得到一個預測值，但是在隨機初始化權值的情況下，這個值一定還有上升的空間，怎么才能使這個值變得更為准確呢？

3. MLP 反向傳播

MLP的反向傳播過就是對於神經網絡的訓練過程。在這里，我們訓練的是之前各條邊上的權值。

3.1 總誤差 （square error）

target為該樣本的正確值，output為這一輪預測的值。 

這里存在兩個輸出，所以，對於所有輸出求和，並最終計算E_total 

推廣至N個輸出（分類），則是把N各分類中的輸出（一般是分類概率）誤差分別求出，最終求和。

在這里的總誤差在下面的應用時，主要看的是接受到了幾個誤差的影響（如果只接受到一個誤差的影響，那就只使用一個誤差）。

3.2 輸出層參數更新

以權重參數w5為例，如果我們想知道w5對整體誤差產生了多少影響，可以用整體誤差對w5求偏導求出：（鏈式求導法則）

現在我們來分別計算每個式子的值：

計算：

計算：

（這一步實際上就是對sigmoid函數求導，比較簡單，可以自己推導一下）

計算：

最后三者相乘：

這樣我們就計算出整體誤差E(total)對w5的偏導值。

回過頭來再看看上面的公式，我們發現：

為了表達方便，用來表示輸出層的誤差：

因此，整體誤差E(total)對w5的偏導公式可以寫成：

如果輸出層誤差計為負的話，也可以寫成：

最后我們來更新w5的值：

（其中，是learning rate，這里我們取0.5）

3.3 隱含層參數更新

 

計算：

先計算：

同理，計算出：

　　　　　　　　　　

兩者相加得到總值：

再計算：

再計算：

最后，三者相乘：

 為了簡化公式，用sigma(h1)表示隱含層單元h1的誤差：

最后，更新w1的權值：

 

 

Python代碼：

#coding:utf-8
import random
import math # # 參數解釋： # "pd_" ：偏導的前綴 # "d_" ：導數的前綴 # "w_ho" ：隱含層到輸出層的權重系數索引 # "w_ih" ：輸入層到隱含層的權重系數的索引 class NeuralNetwork: LEARNING_RATE = 0.5 def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights = None, hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None): self.num_inputs = num_inputs self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias) self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias) self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights) self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights) def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights): weight_num = 0 for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)): for i in range(self.num_inputs): if not hidden_layer_weights: self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random()) else: self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num]) weight_num += 1 def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights): weight_num = 0 for o in range(len(self.output_layer.neurons)): for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)): if not output_layer_weights: self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random()) else: self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num]) weight_num += 1 def inspect(self): print('------') print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs)) print('------') print('Hidden Layer') self.hidden_layer.inspect() print('------') print('* Output Layer') self.output_layer.inspect() print('------') def feed_forward(self, inputs): hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs) return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs) def train(self, training_inputs, training_outputs): self.feed_forward(training_inputs) # 1. 輸出神經元的值 pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons) for o in range(len(self.output_layer.neurons)): # ∂E/∂zⱼ pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o]) # 2. 隱含層神經元的值 pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons) for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)): # dE/dyⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * ∂z/∂yⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * wᵢⱼ d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0 for o in range(len(self.output_layer.neurons)): d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h] # ∂E/∂zⱼ = dE/dyⱼ * ∂zⱼ/∂ pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input() # 3. 更新輸出層權重系數 for o in range(len(self.output_layer.neurons)): for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)): # ∂Eⱼ/∂wᵢⱼ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢⱼ pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho) # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight # 4. 更新隱含層的權重系數 for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)): for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)): # ∂Eⱼ/∂wᵢ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢ pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih) # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight def calculate_total_error(self, training_sets): total_error = 0 for t in range(len(training_sets)): training_inputs, training_outputs = training_sets[t] self.feed_forward(training_inputs) for o in range(len(training_outputs)): total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o]) return total_error class NeuronLayer: def __init__(self, num_neurons, bias): # 同一層的神經元共享一個截距項b self.bias = bias if bias else random.random() self.neurons = [] for i in range(num_neurons): self.neurons.append(Neuron(self.bias)) def inspect(self): print('Neurons:', len(self.neurons)) for n in range(len(self.neurons)): print(' Neuron', n) for w in range(len(self.neurons[n].weights)): print(' Weight:', self.neurons[n].weights[w]) print(' Bias:', self.bias) def feed_forward(self, inputs): outputs = [] for neuron in self.neurons: outputs.append(neuron.calculate_output(inputs)) return outputs def get_outputs(self): outputs = [] for neuron in self.neurons: outputs.append(neuron.output) return outputs class Neuron: def __init__(self, bias): self.bias = bias self.weights = [] def calculate_output(self, inputs): self.inputs = inputs self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input()) return self.output def calculate_total_net_input(self): total = 0 for i in range(len(self.inputs)): total += self.inputs[i] * self.weights[i] return total + self.bias # 激活函數sigmoid def squash(self, total_net_input): return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input)) def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output): return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input(); # 每一個神經元的誤差是由平方差公式計算的 def calculate_error(self, target_output): return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2 def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output): return -(target_output - self.output) def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self): return self.output * (1 - self.output) def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index): return self.inputs[index] # 文中的例子:  nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6) for i in range(10000): nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09]) print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9)) #另外一個例子，可以把上面的例子注釋掉再運行一下: # training_sets = [ # [[0, 0], [0]], # [[0, 1], [1]], # [[1, 0], [1]], # [[1, 1], [0]] # ] # nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1])) # for i in range(10000): # training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets) # nn.train(training_inputs, training_outputs) # print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))