一些在線預測問題可以轉化到在線凸優化框架中。下面介紹兩種凸化技術：
一些在線預測問題似乎不適合在線凸優化框架。例如，在線分類問題中，預測域（predictions domain）或損失函數不是凸的。我們描述了兩種凸化技術，它們允許我們在其他場景中使用在線凸優化框架。
1.Convexification by Randomization
為了演示randomization技術，我們考慮一個專家建議的預測問題：每個在線回合中，學習者必須從d位給定專家的建議中進行選擇。
表示選到的專家，然后學習機收到一個向量
，其中
表示聽從第
個專家的建議所遭受的損失，學習機需要支付的損失為
。在這種情況下，decision space是離散的，因此非凸。
有限假設類（finite hypothesis class）的在線分類問題可以很容易地作為具有專家建議問題的預測的特例。 因此，Cover’s impossibility result意味着沒有算法可以通過專家建議問題獲得預測的low Regret。
然而，正如我們在下面所示，通過允許學習者隨機化他的預測，我們可以將問題轉化為在線凸優化框架，因此可以獲得針對該問題的low Regret算法。令
是probability simplex，S是一個凸集。
在第 t回合，學習者選擇
，並且基於
根據
隨機抽取一個專家，學習機支付期望損失：
現在，我們將問題轉化成了在線凸優化。
2.Convexification by Surrogate Loss Functions
為了解釋第二種凸化技術，我們再次從有限假設類的在線分類具體問題開始。 回想一下，我們用來回避 Cover’s impossibility result的技術之一依賴於可實現性假設（realizability assumption）。我們假設存在
使得對於所有的t有
。有了這個假設，我們描述了Halving算法並且表明它最多
個預測錯誤。我們現在使用在線凸優化語言得出類似的保證:
S是一個凸集，
對於所有t是一個凸函數，我們轉化得到一個在線凸優化問題。
接下來的部分中，我們將推導出在線凸優化問題的算法。 特別是，這些算法之一具有如下的regret bound：
其中，
是一個參數，在這里設置為1/4，
是函數關於L1范數的Lipschitz參數。在我們的案例中，
,因此：
通過的 surrogate property，我們獲得：
這種類型的界限，其中錯誤的數量受到 competing hypothesis的convex surrogate loss的上限，通常被稱為relative loss bound。
在realizable的情況下，我們可以進一步簡化 relative loss bound如下。 由於bound適用於所有u∈S，因此它特別適用於向量u=(0，...，0,1,0，...，0)，其中1位於對應於 true hypothesis 的位置。
通過我們的構造，對於所有t，
，產生：
未完，待續。。。。。。
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