圖中長度為k的路徑的計數

Problem Description

題目給出一個有n個節點的有向圖，求該有向圖中長度為k的路徑條數。方便起見，節點編號為1,2,…,n，用鄰接矩陣表示該有向圖。該有向圖的節點數不少於2並且不超過500.

 

 

例如包含兩個節點的有向圖，圖中有兩條邊1 → 2 ,2 → 1 。

長度為1的路徑有兩條：1 → 2 和 2 →1 ；

長度為2的路徑有兩條：1 → 2 → 1和2 → 1 → 2 ；

偷偷告訴你也無妨，其實這個圖無論k取值多少 ( k > 0 )，長度為k的路徑都是2條。

Input

每組輸入第一行是有向圖中節點的數量即鄰接矩陣的行列數n和Ｋ。接下來n行n列為該圖的鄰接矩陣。

Output

輸出一個整數，即為圖中長度為k的路徑的條數。

樣例輸入

4 2

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

樣例輸出

6

 

解法：假設從Ｕ出發到Ｖ的長度為Ｋ的路徑總數為Ｇｋ［Ｕ］［Ｖ］，那么ｋ＝１時和邊值相同，因此Ｇ１就等於圖的鄰接矩陣．

假設已經得到Ｇｋ１和Ｇｋ２，那么Ｇ（ｋ１＋ｋ２）　＝　Ｇｋ１＊Ｇｋ２．

Ｇｋ　＝　（Ｇ１）＾ｋ．

所以此時候就可以用矩陣快速冪來進行求解．

 

#include <iostream>
#include <vector>
#define ll long long int
#define mod 10007
using namespace std;
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;

mat mul(mat &a,mat &b){
    mat c(a.size(),vec(b[0].size()));
    for(int i=0;i<a.size();i++){
        for(int j=0;j<b[0].size();j++){
            for(int k=0;k<b.size();k++){
                c[i][j] = (c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]);
            }
        }
    }
    return c;
}

mat pow(mat a,int n){
    mat c(a.size(),vec(a.size()));
    for(int i=0;i<a.size();i++)
        c[i][i] = 1;
    while(n){
        if(n&1)
            c = mul(c,a);
        a = mul(a,a);
        n>>=1;
    }
    return c;
}

int main(){
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    mat a(n,vec(n));
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    a = pow(a,k);
    int ans = 0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            ans+=a[i][j];
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}