球面鏡成像原理,焦距推導


半球體的焦點公式推導

一個半球體半徑為R水平放置(與水平面接觸的是半球面的最大的面),用圓形的光線垂直向半球體發射,在半球體的外表面形成一個圓形,假設此時該圓形的半徑為r,那么,
問題1:所有反射光線的反向延長線會相交於一點嗎?如果會,為什么?
問題2:改變圓形的光線的投射高度,即改變了投射到半球面圓形的半徑,此時反射光線的反向延長線相交於一點,那么問題1和問題2的兩個點一樣嗎?如何用立體圖表現?

 

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題主的問題是單純的幾何光學。
從題主的問題描述中「問題2:改變圓形的光線的投射高度,即改變了投射到半球面圓形的半徑」這句話看,題主假設的是一個點光源吧?也就是下面這種場景


那么,很遺憾地告訴你,這些反射光線反向延長后並不匯聚到一個點上,這種現象叫做球差(球面像差)。
如果題主懂解析幾何的話,不妨自己建立坐標系算一算。
我這里幫你算了一個(假設球心在原點),B 點的坐標是
x=-\frac{x_0}{R+2x_0\cos\theta}R

我想,這個式子能解答題主的兩個問題了。
回答1:不會,上面那個式子里含有角度,說明反射光線的反向延長線的交點是隨着角度不同而變化的。
回答2:不是,上面那個式子里含有光源的位置,說明不同位置的光源反射光線的反向延長線的位置也是不同的。

給一些直觀的結果吧。
假設 x0 = -3R(也就是距離半球面頂部 2R),那么B點的坐標隨角度的變化是這樣的:


這里 B 點的位置隨着角度不同而不同的現象就叫做「球差」了。

那么,為什么在中學課本中說到凸面鏡的時候說「凸面鏡對實物成一個正立縮小的虛像」呢?如果光線的反向延長線不交於一點,那怎么成像呢?
答案就是:對於近軸光線,「反向延長線交於一點」這個結論是對的

什么是近軸光線?簡單說,就是離光軸特別近的光線。對應到上面這個例子來,就是角度 \theta 特別小的光線。
直觀來說,你看上面這個曲線,在角度接近0的部分是不是相對比較平坦?說明在角度很小的時候,角度的變化對於 B 點位置的變化是影響不大的。這一點其實很容易證明,把 B 點坐標的表達式在 0 點進行級數展開:
x=-\frac{x_0}{R+2x_0}R-\frac{x_0^2}{(R+2x_0)^2}\theta^2R+O[\theta^4]
\theta很小的時候,上面第二項開始就都可以忽略了,也就是 B 點位置與角度無關。
中學課本里說的所有的結論和公式,全都是在近軸光學范疇里成立的,包括各種透鏡成像公式/規律,球面鏡成像公式/規律。

再多說一句,如果將 C 點到球面頂點的距離作為物距離 u,將 B 點到球面頂點的距離作為像距 v,那么,在近軸條件下可以得到
u=-(R+x_0)
v=x+R=\frac{R+x_0}{R+2x_0}R
所以簡單代換一下就可以得到:
\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{2}{R}
看,凸球面鏡的成像公式就這么來了,而且可以看出,R/2 就是球面鏡的焦距。

其實,從 B 點位置的表達式也可以直接推出球面鏡的焦距,令 x0 趨向負無窮:
f=\lim_{{x_0\rightarrow-\infty}\atop{\theta\rightarrow0}}{x+R}=\lim_{{x_0\rightarrow-\infty}\atop{\theta\rightarrow0}}{-\frac{x_0}{R+2x_0\cos\theta}+R}=\frac{R}{2}

再再多說一句,近軸光學里的光線行為是線性的,這大大簡化了光線的計算。光線的傳播、折射、反射都可以用矩陣來描述,上面@Zhang Tianyi兄弟的答案說的就是這么回事。最早由高斯(是的就是那個大名鼎鼎的高斯)系統地總結歸納了近軸光學的性質,並用純粹的代數學來計算光學系統的所有行為,建立了近軸光學的理論基礎,所以近軸光學也叫高斯光學。完畢。

 

 

 

 

 

 

作者:章佳傑
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來源:知乎
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