半球體的焦點公式推導
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題主的問題是單純的幾何光學。
從題主的問題描述中「問題2：改變圓形的光線的投射高度，即改變了投射到半球面圓形的半徑」這句話看，題主假設的是一個點光源吧？也就是下面這種場景
那么，很遺憾地告訴你，這些反射光線反向延長后並不匯聚到一個點上，這種現象叫做球差（球面像差）。
如果題主懂解析幾何的話，不妨自己建立坐標系算一算。
我這里幫你算了一個（假設球心在原點），B 點的坐標是
我想，這個式子能解答題主的兩個問題了。
回答1：不會，上面那個式子里含有角度，說明反射光線的反向延長線的交點是隨着角度不同而變化的。
回答2：不是，上面那個式子里含有光源的位置，說明不同位置的光源反射光線的反向延長線的位置也是不同的。
給一些直觀的結果吧。
假設 x0 = -3R（也就是距離半球面頂部 2R），那么B點的坐標隨角度的變化是這樣的：
這里 B 點的位置隨着角度不同而不同的現象就叫做「球差」了。
那么，為什么在中學課本中說到凸面鏡的時候說「凸面鏡對實物成一個正立縮小的虛像」呢？如果光線的反向延長線不交於一點，那怎么成像呢？
答案就是：對於近軸光線，「反向延長線交於一點」這個結論是對的
什么是近軸光線？簡單說，就是離光軸特別近的光線。對應到上面這個例子來，就是角度 
特別小的光線。
直觀來說，你看上面這個曲線，在角度接近0的部分是不是相對比較平坦？說明在角度很小的時候，角度的變化對於 B 點位置的變化是影響不大的。這一點其實很容易證明，把 B 點坐標的表達式在 0 點進行級數展開：![x=-\frac{x_0}{R+2x_0}R-\frac{x_0^2}{(R+2x_0)^2}\theta^2R+O[\theta^4]](/image/aHR0cHM6Ly9pbWFnZXMyMDE4LmNuYmxvZ3MuY29tL2Jsb2cvMTQ3MDY4NC8yMDE4MDgvMTQ3MDY4NC0yMDE4MDgyNDE1MjgwNDgwMi05NTE3NDQyNjEucG5n.png)
當
很小的時候，上面第二項開始就都可以忽略了，也就是 B 點位置與角度無關。
中學課本里說的所有的結論和公式，全都是在近軸光學范疇里成立的，包括各種透鏡成像公式/規律，球面鏡成像公式/規律。
再多說一句，如果將 C 點到球面頂點的距離作為物距離 u，將 B 點到球面頂點的距離作為像距 v，那么，在近軸條件下可以得到
所以簡單代換一下就可以得到：
看，凸球面鏡的成像公式就這么來了，而且可以看出，R/2 就是球面鏡的焦距。
其實，從 B 點位置的表達式也可以直接推出球面鏡的焦距，令 x0 趨向負無窮：
再再多說一句，近軸光學里的光線行為是線性的，這大大簡化了光線的計算。光線的傳播、折射、反射都可以用矩陣來描述，上面@Zhang Tianyi兄弟的答案說的就是這么回事。最早由高斯（是的就是那個大名鼎鼎的高斯）系統地總結歸納了近軸光學的性質，並用純粹的代數學來計算光學系統的所有行為，建立了近軸光學的理論基礎，所以近軸光學也叫高斯光學。完畢。
作者：章佳傑
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來源：知乎
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