前提
我們之前的二叉排序樹的插入（構建）是按照我們輸入的數據來進行的，若是我們的數據分布不同，那么就會構造不同的二叉樹
{ 62, 88, 58, 47, 35, 73, 51, 99, 37, 93 }
{ 35, 37, 47, 51, 58, 62, 73, 88, 93, 99 }
我們發現若是數組元素分布大小按順序，那么我們極有可能得到一顆極不平衡的二叉樹，而二叉樹深度越大，查找的次數越多，其查找時間復雜度可以高達O(n),那么如何構造一顆平衡的二叉樹？
平衡二叉樹
一：定義
平衡：
左右均勻
平衡因子：
將二叉樹上結點的左子樹深度減去右子樹深度的值稱為平衡因子BF(Balance Factor) BF=hl-hr
平衡二叉樹（AVL樹）：
是一種二叉排序樹
空樹或任一結點左右子樹高度差的絕對值不超過1，即|BF|<=1
最小不平衡子樹
距離插入結點最近的，且平衡因子絕對值大於1的結點為根 的子樹，我們稱為最小不平衡子樹
二：平衡二叉樹實現原理
基本思想
在構建二叉排序樹的過程中，每當插入一個結點時，先檢查是否因插入而破壞了樹的平衡性，若是，則找出最小不平衡子樹。在保存二叉排序樹的前提下，調整最小不平衡子樹中各個結點之間的鏈接更新，進行相應的旋轉，使之成為新的平衡子樹
二叉排序樹構建過程
{3,2,1,4,5,6,10,9,8,7}
我們若是按照二叉排序樹進行構建 圖一
雖然會符合二叉排序樹的定義，但是高度達到8的二叉樹，查找不好，效率不高，我們應該盡可能是二叉排序樹保持平衡，比如圖二
開始構建平衡二叉樹AVL
1.選取第一個數據元素3，按照二叉排序樹方法正常構建數據，樹的平衡因子為0，符合平衡
2.選取第二個數據元素2，按照二叉排序樹方法正常構建數據，樹的平衡因子為1，符合平衡
3.選取第三個數據元素1，按照二叉排序樹方法構建數據位置，樹的根節點平衡因子為2，不符合平衡要求，我們找到最小不平衡子樹，進行旋轉
注意：平衡因子為正數，則右轉，為負數，則左轉
4.選取第四個數據元素4，按照二叉排序樹方法正常構建數據，樹的平衡因子沒改變，符合平衡
5.選取第五個數據元素5，按照二叉排序樹方法正常構建數據，結點3的BF變為-2，說明要進行旋轉，我們找到最小不平衡子樹，進行旋轉
負數，左旋
6.選取第六個數據元素6，按照二叉排序樹方法正常構建數據，發現結點2的BF變為-2，說明要進行旋轉，而且是左旋
注意：此時本來結點3是結點4的左孩子，由於旋轉后，需要滿足二叉排序樹圖像，因此我們將他變為結點2的右孩子
7.選取第七個數據元素7，按照二叉排序樹方法正常構建數據，發現結點5的BF變為-2，所以需要對這個最小不平衡子樹進行左旋
8.選取第八個數據元素10，按照二叉排序樹方法正常構建數據，樹的平衡因子沒改變，符合平衡
9.選取第八個數據元素9，按照二叉排序樹方法正常構建數據，發現結點7的BF值為-2，我們需要進行旋轉
注意：因為我們的結點7的BF=-2，而他的子結點10的BF是1，對於兩個符號不統一的最小不平衡子樹，
我們都應該先讓其符號相同，所以先對我們的最小不平衡子樹的子樹結點10和結點9安裝其結點10的BF=1，正數，先進行兩個結點的右旋，
然后再對整個不平衡子樹按照結點7的BF=-2進行左旋
10.選取第九個數據元素8，按照二叉排序樹方法正常構建數據，發現結點6的BF=-2，而且最小不平衡子樹的符號不統一
我們先對最小不平衡子樹的子樹進行旋轉，使得其符號統一，按照結點9的BF=1，進行右旋
使最小不平衡子樹符號相同，然后我們根據結點6的BF=-2，進行左旋
最后將所有的數據排序完成！！！
三：平衡二叉樹的難點
1.我們需要知道每個結點的BF值，應該從哪得知？
所以我們要在結構體中加入平衡因子數據域
typedef struct _BiTNode { ElemType data; int bf; struct _BiTNode* lchild, *rchild; }BiTNode,*BiTree;
2.我們如何動態修改每個結點的BF值？
（1）我們需要知道，我們插入一個結點，只會影響到該結點到根節點的路徑上的結點的BF值，是不會影響到其他結點的BF值
（2）我們插入一個新的結點，那么這個新的結點的BF值一定是0（可以看上圖）
（3）我們對一個最小不平衡子樹做了平衡處理后，會發現我們只對這個最小不平衡子樹的BF進行了改變，而對於這棵樹中的其他結點的BF值，雖然變換當中會改變，但是變化后和原來是一樣的。
下面我們對添加新結點前，添加后，樹平衡調整后的BF值進行觀察
這里不在最小平衡子樹中的點有0,1結點，開始和結束后其BF都沒有變化
這里不在最小平衡子樹中的點有1結點，開始和結束后其BF都沒有變化
這里不在最小平衡子樹中的點有1,2,3,4結點，開始和結束后其BF都沒有變化
這里不在最小平衡子樹中的點有1,2,3,4,5,6結點，開始和結束后其BF都沒有變化
總之：我們在考慮樹的結點的BF值時，我們只需要考慮我們的最小不平衡子樹的結點的BF值即可。
（4）同3注意：我們還發現，除了 參與旋轉的三個結點，在最小不平衡子樹的其他結點的BF值也不會改變
LL型
LR型
RR和RL型相同
所以：我們只需要考慮的結點是最小不平衡子樹的3個旋轉結點即可
（5）通過上面分析：我們只需要考慮3個結點的BF值變化即可，但是具體變化方式是不是有規律的？
LL型
插入結點時的變化，我們應該將BL的BF值修改，原來是0，插入子節點后變為1
做了平衡旋轉后，我們應該將最小不平衡子樹的根節點A和左子樹根節點B變為0
LR型（我們這里只考慮插入在雙親結點左側：分多種情況，要根據第三個結點再次進行分析）
首先是T指向新插入的C結點的雙親BR由原來的0變為1，再向上走T等於其雙親，原來也是0，但是這里是右轉所以由0變為-1，之后轉到A結點，發現是左轉，原來BF值是1，直接進入左旋轉平衡
左旋轉平衡，根據LR判斷，若是為1，我們將最小不平衡子樹根T置為-1，L和LR結點設為0
分為這三種情況（想吐）....RR和RL同上面分析。
四：代碼實現
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define OK 1 #define ERROR 0 #define TRUE 1 #define FALSE 0 typedef int Status; typedef int ElemType; typedef struct _BiTNode { ElemType data; int bf; struct _BiTNode* lchild, *rchild; }BiTNode,*BiTree; //右旋操作 /* 對以p為根節點的二叉排序樹進行右旋操作 處理之后p指向新的樹根結點，即旋轉處理之前的左子樹的根節點 */ void R_Rotate(BiTree *p) { BiTree L; L = (*p)->lchild; (*p)->lchild = L->rchild; L->rchild = (*p); *p = L; } //左旋操作 /* 對以p為根節點的二叉排序樹進行左旋操作 處理之后p指向新的樹根結點，即旋轉處理之前的右子樹的根節點 */ void L_Rotate(BiTree *p) { BiTree R; R = (*p)->rchild; (*p)->rchild = R->lchild; R->lchild = (*p); *p = R; } #define LH +1 //左高 #define EH 0 //等高 #define RH -1 //右高 //左平衡旋轉處理代碼 //其中傳入的T都是最小不平衡子樹的根節點 //我們在旋轉時主要關注的BF值就是最小不平衡子樹的根節點BF和根節點下面的子節點BF值 void LeftBalance(BiTree *T) //左平衡。我們主要考慮LL,LR兩種 { BiTree L,Lr; L = (*T)->lchild; switch (L->bf) //由於已經是要做平衡處理，所以L->bf不會出現EH狀態 { case LH: //LL直接右旋即可,注意LL后的結點平衡后都是0 (*T)->bf = L->bf = EH; //所有的BF跳轉都是基於旋轉之前的提前調整，方便些 R_Rotate(T); break; case RH: //LR旋轉，我們需要注意先要左旋，然后右旋 //在左右旋之前，我們要修改BF值 Lr = L->rchild; //Lr指向T的左孩子的右子樹 switch (Lr->bf) { /* 修改T及其左孩子的平衡因子 */ case LH: (*T)->bf = RH; L->bf = EH; break; case EH: (*T)->bf = EH; L->bf = EH; break; case RH: (*T)->bf = EH; L->bf = LH; break; } Lr->bf = EH; L_Rotate(&(*T)->lchild);/* 對T的左子樹作左旋平衡處理 */ R_Rotate(T); /* 對T作右旋平衡處理 */ break; } } /* 對以指針T所指結點為根的二叉樹作右平衡旋轉處理， */ void RightBalance(BiTree* T) { BiTree R, Rl; R = (*T)->rchild; /* R指向T的右子樹根結點 */ switch (R->bf) {/* 檢查T的右子樹的平衡度，並作相應平衡處理 */ case RH: /* 新結點插入在T的右孩子的右子樹上，要作單左旋處理 */ (*T)->bf = R->bf = EH; L_Rotate(T); break; case LH:/* 新結點插入在T的右孩子的左子樹上，要作雙旋處理 */ Rl = R->lchild;/* Rl指向T的右孩子的左子樹根 */ switch (Rl->bf) { case RH: (*T)->bf = LH; R->bf = EH; break; case EH: (*T)->bf = EH; R->bf = EH; break; case LH: (*T)->bf = EH; R->bf = RH; break; } Rl->bf = EH; R_Rotate(&(*T)->rchild);/* 對T的右子樹作右旋平衡處理 */ L_Rotate(T); break; } } /* 若在平衡的二叉排序樹T中不存在和e有相同關鍵字的結點，則插入一個 */ /* 數據元素為e的新結點，並返回1，否則返回0。若因插入而使二叉排序樹 */ /* 失去平衡，則作平衡旋轉處理，布爾變量taller反映T長高與否。 */ Status InsertAVL(BiTree* T, int e, Status *taller) { if (!*T) { //插入新結點 *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); (*T)->data = e; (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH; *taller = TRUE; } else { if (e==(*T)->data) { //樹中已經存在和e有相同的關鍵字的結點則不再插入 *taller = FALSE; return FALSE; } else if (e<(*T)->data) { //應該繼續在T的左子樹中進行搜索 if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)) //未插入 return FALSE; if (*taller) //已插入到T的左子樹中，且左子樹長高 { switch ((*T)->bf) //檢測T樹的平衡度 { case LH: //原來是其父節點T的BF值為1，現在插入左孩子，其BF值變為2，直接進行左平衡處理 LeftBalance(T); *taller = FALSE; break; case EH: //原來左右子樹等高，現因左子樹增高而樹增高 (*T)->bf = LH; *taller = TRUE; break; case RH: //原來右子樹比左子樹高，現在左右等高 (*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break; } } } else { //去右子樹搜索 if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)) //未插入 return FALSE; if (*taller) //已插入到T的左子樹中，且左子樹長高 { switch ((*T)->bf) //檢測T樹的平衡度 { case LH: //原來左子樹比右子樹高，現在左右等高 (*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break; case EH: //原來左右子樹等高，現因右子樹增高而樹增高 (*T)->bf = RH; *taller = TRUE; break; case RH: //原來右子樹比左子樹高，現在高了兩個度，BF=2，需要進行右平衡旋轉 RightBalance(T); *taller = FALSE; break; } } } } return TRUE; } int main() { int i; int a[10] = { 3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8 }; BiTree T = NULL; Status taller; for (i = 0; i < 10;i++) { InsertAVL(&T, a[i], &taller); } system("pause"); return 0; }
五：反思
不太熟練，需要多聯系，等我把這些都復習一遍，在做題的時候會進行更多的查漏補缺，而且上面缺少刪除部分代碼，在我真正理解后，會補上