Ⅰ.Fibonacci數列
在所有的遞推關系中，Fibonacci數列應該是最為大家所熟悉的。在最基礎的程序設計語言Logo語言中，就有很多這類的題目。而在較為復雜的Basic、Pascal、C語言中，Fibonacci數列類的題目因為解法相對容易一些，逐漸退出了競賽的舞台。可是這不等於說Fibonacci數列沒有研究價值，恰恰相反，一些此類的題目還是能給我們一定的啟發的。
Fibonacci數列的代表問題是由意大利著名數學家Fibonacci於1202年提出的“兔子繁殖問題”(又稱“Fibonacci問題”)。
問題的提出：有雌雄一對兔子，假定過兩個月便可繁殖雌雄各一的一對小兔子。問過n個月后共有多少對兔子？
解：設滿x個月共有兔子Fx對，其中當月新生的兔子數目為Nx對。第x-1個月留下的兔子數目設為Ox對。則：
Fx=Nx+Ox
而 Ox=Fx-1，
Nx=Ox-1=Fx-2 (即第x-2個月的所有兔子到第x個月都有繁殖能力了)
∴ Fx=Fx-1+Fx-2 邊界條件： F0=0，F1=1
由上面的遞推關系可依次得到
F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，……。
Ⅱ.Hanoi塔問題
問題的提出：Hanoi塔由n個大小不同的圓盤和三根木柱a,b,c組成。開始時，這n個圓盤由大到小依次套在a柱上，如圖1所示。
|
要求把a柱上n個圓盤按下述規則移到c柱上：
(1)一次只能移一個圓盤；
(2)圓盤只能在三個柱上存放；
(3)在移動過程中，不允許大盤壓小盤。
問將這n個盤子從a柱移動到c柱上，總計需要移動多少個盤次？
解：設hn為n 個盤子從a柱移到c柱所需移動的盤次。顯然，當n=1時，只需把a 柱上的盤子直接移動到c柱就可以了，故h1=1。當n=2時，先將a柱上面的小盤子移動到b柱上去；然后將大盤子從a柱移到c 柱；最后，將b柱上的小盤子移到c柱上，共記3個盤次，故h2=3。以此類推，當a柱上有n(n2)個盤子時，總是先借助c柱把上面的n-1個盤子移動到b柱上，然后把a柱最下面的盤子移動到c柱上；再借助a柱把b柱上的n-1個盤子移動到c柱上；總共移動hn-1+1+hn-1個盤次。
∴hn=2hn-1+1 邊界條件：hn-1=1
Ⅲ.平面分割問題
問題的提出：
設有n條封閉曲線畫在平面上，而任何兩條封閉曲線恰好相交於兩點，且任何三條封閉曲線不相交於同一點，問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。
解：設an為n條封閉曲線把平面分割成的區域個數。 由圖2可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；
a4-a3=6。從這些式子中可以看出an-an-1=2(n-1)。當然，上面的式子只是我們通過觀察4幅圖后得出的結論，它的正確性尚不能保證。下面不妨讓我們來試着證明一下。當平面上已有n-1條曲線將平面分割成an-1個區域后，第n-1條曲線每與曲線相交一次，就會增加一個區域，因為平面上已有了n-1條封閉曲線，且第n條曲線與已有的每一條閉曲線恰好相交於兩點，且不會與任兩條曲線交於同一點，故平面上一共增加2(n-1)個區域，加上已有的an-1個區域，一共有an-1+2(n-1)個區域。所以本題的遞推關系是an=an-1+2(n-1)，邊界條件是a1=1。
平面分割問題是競賽中經常觸及到的一類問題，由於其靈活多變，常常讓選手感到棘手，
Ⅳ.Catalan數
Catalan數首先是由Euler在精確計算對凸n邊形的不同的對角三角形剖分的個數問題時得到的，它經常出現在組合計數問題中。
問題的提出：在一個凸n邊形中，通過不相交於n邊形內部的對角線，把n邊形拆分成若干三角形，不同的拆分數目用hn表之，hn即為Catalan數。例如五邊形有如下五種拆分方案(圖6-4)，故h5=5。求對於一個任意的凸n邊形相應的hn。
解：設Cn表示凸n邊形的拆分方案總數。由題目中的要求可知一個凸n邊形的任意一條邊都必然是一個三角形的一條邊，邊P1 Pn也不例外，
再根據“不在同一直線上的三點可以確定一個三角形”，只要在P2，P3，……，Pn-1點中找一個點Pk(1<k<n)，與P1、Pn 共同構成一個三角形的三個頂點，就將n邊形分成了三個不相交的部分(如圖3所示)，我們分別稱之為區域①、區域②、區域③，其中區域③必定是一個三角形，區域①是一個凸k邊形，區域②是一個凸n-k+1邊形，區域①的拆分方案總數是Ck，區域②的拆分方案數為Cn-k+1，故包含△P1PkPn的n 邊形的拆分方案數為CkCn-k+1種，而Pk可以是P2，P3，……，Pn-1種任一點，根據加法原理，凸n邊形的三角拆分方案總數為
，同時考慮到計算的方便，約定邊界條件C2=1。
小結：通過上面對四種典型的遞推關系建立過程的探討，可知對待遞推類的題目，要具體情況具體分析，通過找到某狀態與其前面狀態的聯系，建立相應的遞推關系。
例題精講
例1、在一個正六邊形的六個區域中的每一個區域染上紅、黃、藍、紫四種顏色之一，要求相鄰的兩個區域染色不相同，則有多少種不同的染色方法？
【分析】本問題屬於排列組合方面的問題。
思路一：利用排列組合的知識進行求解，由於圖形的特殊性，可以按染色情況進行分類。
思路二：將該圖形抽象出來，形成一般的問題：“將圓分為個扇形，每個扇形區域染上紅、黃、藍、紫四種顏色之一，要求相鄰的扇形區域染色不相同，問有多少種染色方法？”先求通項或遞推關系，再求。
【解答】解法一：按A，C，E染色情況進行分類：
故總計共有108+192+432=732種方法。
解法二：將問題抽象成一般問題：“將圓分為個扇形，每個扇形區域染上紅、黃、藍、紫四種顏色之一，要求相鄰的扇形區域染色不相同，記染色方法總數為an，求a6”。
【評注】（1）解法一中若不按染色情況進行分類可能比較復雜，並且當A,C,E染二種色時，計算染法數比較容易出錯；
（2）解法二中關鍵之處在於建立遞推式子，但遞推式子建立后計算比較方便。
例2 有一只經過訓練的蜜蜂只能爬向右側相鄰的蜂房，不能反向爬行。試求出蜜蜂從蜂房a爬到蜂房b的可能路線數。
解：這是一道很典型的Fibonacci數列類題目，其中的遞推關系很明顯。由於“蜜蜂只能爬向右側相鄰的蜂房，不能反向爬行”的限制，決定了蜜蜂到b點的路徑只能是從b-1點或b-2點到達的，故fn=fn-1+fn-2 (a+2nb)，邊界條件fa=1，fa+1=1。
練習：
第1題(5分)，有5本不同的數學書分給5個男同學，有4本不同的英語書分給4個女同學，將全部書收回來后再從新發給他們，與原方案都不相同的方案有________種。
答案：
5!*4!+D(5)*D(4)=1140480
其中：D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2)) (n > 2)
D(1)=0 D(2)=1
第2題(5分)，在m*n的棋盤上，每個方格(單位正方形，即邊長為1的正方形)的頂點稱為格點。以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形。若設格點凸N邊形面積的最小值為gn，格點凸N邊形內部(非頂點的)格點的個數的最小值為fn，則gn和fn的關系式為gn=___________。
答案：
Gn= fn+N/2-1 ( N >= 3 )
第3題(8分)，有位小同學喜歡在方陣中填數字，規則是按下圖示例從右上角開始，按斜線填數字，碰到邊界就重新。顯然，數字1在坐標(1，5)位置，數字25在坐標(5，1)位置。后來這位小朋友想知道，對於N階的方陣，隨機取一個位置(x，y)，並規定x≤y，問這個位置上應該填的數字是多少?5階方陣的
示例圖如下：
11 7 4 2 1
16 12 8 5 3
20 17 13 9 6
23 21 18 14 10
25 24 22 19 15
答案：
(N-y+x)*(N-y+x-1)/2+x
第4題(5分)，把三角形各邊分成n等分，過每一分點分別做各邊的平行線，得到一些由三角形的邊和這些平行線所組成的平行四邊形。n為已知整數，能組成_______個平行四邊形。
答案：3*C(n+2,4)
第5題(5分)，由a，b，c3個不同的數字組成一個N位數，要求不出現兩個a相鄰，也不出現兩個b相鄰，這樣的N位數的個數為AN，用AN-1和AN-2表示AN的關系式為：AN＝_______________。
答案：
AN= 2*AN-1+AN-2