九連環(規律--數學的奧妙)

題目描述

九連環是一種源於中國的傳統智力游戲。如圖所示，九個圓環套在一把“劍”上，並且互相牽連。游戲的目標是把九個圓環從“劍”上卸下。

圓環的裝卸需要遵守兩個規則。
第一個（最右邊）環任何時候都可以裝上或卸下。
如果第k個環沒有被卸下，且第k個環右邊的所有環都被卸下，則第k+1個環（第k個環左邊相鄰的環）可以任意裝上或卸下。
與魔方的千變萬化不同，解九連環的最優策略是唯一的。為簡單起見，我們以“四連環”為例，演示這一過程。這里用1表示環在“劍”上，0表示環已經卸下。
初始狀態為1111，每部的操作如下：
1101（根據規則2，卸下第2個環）
1100（根據規則1，卸下第1個環）
0100（根據規則2，卸下第4個環）
0101（根據規則1，裝上第1個環）
0111（根據規則2，裝上第2個環）
0110（根據規則1，卸下第1個環）
0010（根據規則2，卸下第3個環）
0011（根據規則1，裝上第1個環）
0001（根據規則2，卸下第2個環）
0000（根據規則1，卸下第1個環）
由此可見，卸下“四連環”至少需要10步。隨着環數增加，需要的步數也會隨之增多。例如卸下九連環，就至少需要341步。
請你計算，有n個環的情況下，按照規則，全部卸下至少需要多少步。

 

輸入

輸入第一行為一個整數m ，表示測試點數目。
接下來m行，每行一個整數n。

 

輸出

輸出共m行，對應每個測試點的計算結果。

 

樣例輸入

3
3
5
9

 

樣例輸出

5
21
341

 

提示

對於10%的數據，1≤n≤10。
對於30%的數據，1≤n≤30。
對於100%的數據，1≤n≤10⁵,1≤m≤10。

 

九圓環這個東西真的很神奇

對於N環，解N連環，就是先解一個N-2連環，再解最后一個環，再上N-2連環，再解N-1連環。

F（N）= 2F(N-2)+F(N-1)+1 ===== F(N) = 2F(N-1)+1 (N&1==1)    F(N) = 2F(N-1) (N & 1 == 0)

另外，九連環和格雷碼有着密切關系。

如11111，將右端看作第一環，那么他的各種狀態當成格雷碼，將其轉換為對應的二進制就是該狀態對應步數，若是求一種狀態到另一種狀態，相減即可。

在將其一和二環操作合並后還有別的知識，大家可以去找找

import java.util.*;
import java.math.BigInteger;
 
public class Main {
    public static void main(String args[]) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int t = cin.nextInt();
        while (t-- != 0) {
            int n = cin.nextInt();
            BigInteger ans = BigInteger.ONE;
            for (int i = 2; i <= n; i++) {
                ans = ans.multiply(BigInteger.valueOf(2));
                if (i % 2 == 1) {
                    ans = ans.add(BigInteger.ONE);
                }
            }
            System.out.println(ans);
        }
 
    }
}