可積的判定（充分條件，必要條件）

• 可積的充要條件，定義：積分和能否無限接近某一常數；

1. 必要條件

• 若函數 f 在 [a, b] 上可積，則 f 在 [a, b] 上必有界；
  反證法，逆否命題，無界 ⇒ 不可積；

若 f 在 [a, b] 上無界，則對於 [a, b] 的任一分割 T，比存在屬於 T 的某個小區間 Δk ， f 在 Δk 上無界，在 i≠k 的各個小區間 Δk 上（區間內）任意取定 ξi ，並記：

G=∣∣∣∣∑i≠kf(ξi)Δxi∣∣∣∣

現對任意大（不是無窮大，但要足夠大）的正數 M ，由於 f 在 Δk 上無界（正無窮，負無窮），故存在 ξk∈Δk ，使得：

|f(ξk)|>M+GΔk

右邊那一塊是構造出來的，

於是有：

∣∣∣∑inf(ξi)Δxi∣∣∣≥|f(ξk)Δk|−∣∣∣∣∑i≠knf(ξi)Δxi∣∣∣∣=M+G−G=M

這與 f 在 [a, b] 上可積相矛盾，從而定理得證；

可積函數一定有界，有界函數不一定可積（比如狄利克雷函數，全取有理數，全取無理數，趨於不同的值，1和0）；
有界是可積的必要條件。

2. 充分條件

references

一、可積的必要條件_百度文庫