均勻分布（uniform distribution）期望的最大似然估計（maximum likelihood estimation）

maximum estimator method more known as MLE of a uniform distribution

[0,θ] 區間上的均勻分布為例，獨立同分布地采樣樣本 x1,x2,…,xn ，我們知均勻分布的期望為： θ2 。

首先我們來看，如何通過最大似然估計的形式估計均勻分布的期望。均勻分布的概率密度函數為： f(x|θ)=1θ,0≤x≤θ 。不失一般性地，將 x1,x2,…,xn 排序為順序統計量： x(1)≤x(2)≤⋯≤x(n) 。則根據似然函數定義，在此樣本集合上的似然函數為：

L(θ|x)=∏i=1n1θ=θ−n(∗)

對 x(1)≥0,x(n)≤θ ，否則為 0。然后求其對數形式關於 θ 的導數：

dlnL(θ|x)dθ=−nθ<0.

導數小於 0，因此可以說 L(x|θ) 是單調減函數 θ≥x(n) ，因此當 θ=x(n) （ θ 能取到的最小值），也即 θ=max{x1,x2,…,xn} 時， L(x|θ) 值最大，則關於 θ 的最大似然估計為：

θ^=x(n)=max{x1,x2,…,xn}