時間序列分析的主要目的是根據已有的歷史數據對未來進行預測。如餐飲銷售預測可以看做是基於時間序列的短期數據預測， 預測的對象時具體菜品的銷售量。
1.時間序列算法：
常見的時間序列模型;
2.時序模型的預處理
1. 對於純隨機序列，也稱為白噪聲序列，序列的各項之間沒有任何的關系， 序列在進行完全無序的隨機波動， 可以終止對該序列的分析。
2. 對於平穩非白噪聲序列， 它的均值和方差是常數。ARMA 模型是最常用的平穩序列擬合模型。
3. 對於非平穩序列， 由於它的方差和均值不穩定， 處理方法一般是將其轉化成平穩序列。 可以使用ARIMA 模型進行分析。
對平穩性的檢驗：
1.時序圖檢驗：根據平穩時間序列的均值和方差都是常數的特性，平穩序列的時序圖顯示該序列值時鍾在一個參數附近隨機波動，而且波動的范圍是有界的。如果有明顯的趨勢或者周期性， 那它通常不是平穩序列。
2.自相關圖檢驗：平穩序列具有短期相關性， 這個性質表明對平穩序列而言， 通常 只有近期的序列值得影響比較明顯， 間隔越遠的過去值對現在的值得影響越小。 而非平穩序列的自相關系數衰減的速度比較慢。
3.單位根檢驗：單位根檢驗是指檢驗序列中是否存在單位根， 如果存在單位根， 那就是非平穩時間序列。 目前最常用的方法就是單位根檢驗。
原假設是 非平穩序列過程， 備擇假設是 平穩序列， 趨勢平穩過程
3.時間序列分析：
•平穩性：
•平穩性要求經由樣本時間序列所得到的擬合曲線，在未來一段時間內仍然沿着現有的形態‘慣性’地延續下去。
•平穩性要求序列的均值和方差不發生明顯的變化。
•弱平穩：期望和相關系數（依賴性）不變，未來某個時刻t 的值，Xt 要依賴於它過去的信息。
•差分法：時間序列在 T 與 T-1 時刻的差值（使用差分使其滿足平穩性），一般差分1,2 階就可以了。
•AR（自回歸模型）：
•描述當前值與歷史值之間的關系， 用變量自身的歷史時間數據對自身進行預測。自回歸模型必須滿足平穩性的要求。
公式定義：
自回歸模型的限制：
1.自回歸模型是使用自身的數據進行預測的
2.必須具有平穩性
3.必須具有相關性，如果相關性小於 0.5 ， 則不宜使用
4.自回歸模型只適用於預測與自身前期相關的預測。
•MA（移動平均模型）：
•移動平均模型關注的是自回歸模型中的誤差項的累加
•移動平均法能有效地消除預測中的隨機波動。
•ARMA（自回歸平均模型）：
•自回歸和移動平均的結合。
•ARIMA（p,d,q）差分自回歸移動平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model ,簡稱ARIMA）
•AR 是自回歸， p 是自回歸項， MA 是移動平均， q 為移動平均項， d 為時間序列稱為平穩時 所做的差分次數。
•原理： 將非平穩時間序列轉換成平穩時間序列， 然后將因變量僅對它的滯后值（p階）以及隨機誤差項的現值和滯后值進行回顧所建立的模型。
•ARIMA 建模流程：
•1.將序列平穩化（差分法確定 d）
•2.p 和 q 階數的確定（ACF 和 PACF 確定）
•3.建立模型 ARIMA (p , d , q )
使用ARIMA 模型對某餐廳的銷售數據進行預測
#使用ARIMA 模型對非平穩時間序列進行建模操作
#差分運算具有強大的確定性的信息提取能力， 許多非平穩的序列差分后顯示出平穩序列的性質， 這是稱這個非平穩序列為差分平穩序列。
#對差分平穩序列可以還是要ARMA 模型進行擬合， ARIMA 模型的實質就是差分預算與 ARMA 模型的結合。
#coding=gbk #使用ARIMA 模型對非平穩時間序列記性建模操作 #差分運算具有強大的確定性的信息提取能力， 許多非平穩的序列差分后顯示出平穩序列的性質， 這是稱這個非平穩序列為差分平穩序列。 #對差分平穩序列可以還是要ARMA 模型進行擬合， ARIMA 模型的實質就是差分預算與 ARMA 模型的結合。 #導入數據 import pandas as pd filename = r'D:\datasets\arima_data.xls' data = pd.read_excel(filename, index_col = u'日期') #畫出時序圖 import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] #定義使其正常顯示中文字體黑體 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False #用來正常顯示表示負號 # data.plot() # plt.show()
#畫出自相關性圖 from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf # plot_acf(data) # plt.show() #平穩性檢測 from statsmodels.tsa.stattools import adfuller print('原始序列的檢驗結果為：',adfuller(data[u'銷量'])) #原始序列的檢驗結果為： (1.8137710150945268, 0.9983759421514264, 10, 26, {'1%': -3.7112123008648155, # '10%': -2.6300945562130176, '5%': -2.981246804733728}, 299.46989866024177) #返回值依次為：adf, pvalue p值， usedlag, nobs, critical values臨界值 , icbest, regresults, resstore #adf 分別大於3中不同檢驗水平的3個臨界值，單位檢測統計量對應的p 值顯著大於 0.05 ， 說明序列可以判定為 非平穩序列
#對數據進行差分后得到 自相關圖和 偏相關圖 D_data = data.diff().dropna() D_data.columns = [u'銷量差分'] D_data.plot() #畫出差分后的時序圖 # plt.show() plot_acf(D_data) #畫出自相關圖 # plt.show() plot_pacf(D_data) #畫出偏相關圖 # plt.show() print(u'差分序列的ADF 檢驗結果為： ', adfuller(D_data[u'銷量差分'])) #平穩性檢驗 #差分序列的ADF 檢驗結果為： (-3.1560562366723537, 0.022673435440048798, 0, 35, {'1%': -3.6327426647230316, # '10%': -2.6130173469387756, '5%': -2.9485102040816327}, 287.5909090780334) #一階差分后的序列的時序圖在均值附近比較平穩的波動， 自相關性有很強的短期相關性， 單位根檢驗 p值小於 0.05 ，所以說一階差分后的序列是平穩序列
#對一階差分后的序列做白噪聲檢驗 from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox print(u'差分序列的白噪聲檢驗結果：',acorr_ljungbox(D_data, lags= 1)) #返回統計量和 p 值 # 差分序列的白噪聲檢驗結果： (array([11.30402222]), array([0.00077339])) p值為第二項， 遠小於 0.05 #對模型進行定階 from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA pmax = int(len(D_data) / 10) #一般階數不超過 length /10 qmax = int(len(D_data) / 10) bic_matrix = [] for p in range(pmax +1): temp= [] for q in range(qmax+1): try: temp.append(ARIMA(data, (p, 1, q)).fit().bic) except: temp.append(None) bic_matrix.append(temp) bic_matrix = pd.DataFrame(bic_matrix) #將其轉換成Dataframe 數據結構 p,q = bic_matrix.stack().idxmin() #先使用stack 展平， 然后使用 idxmin 找出最小值的位置 print(u'BIC 最小的p值 和 q 值：%s,%s' %(p,q)) # BIC 最小的p值 和 q 值：0,1 #所以可以建立ARIMA 模型，ARIMA(0,1,1) model = ARIMA(data, (p,1,q)).fit() model.summary2() #生成一份模型報告 model.forecast(5) #為未來5天進行預測， 返回預測結果， 標准誤差， 和置信區間利用模型向前預測的時期越長， 預測的誤差就會越大，這是時間預測的典型特點。
