假設兩個平穩信號 $\textbf{x}$ 和 $\textbf{y}$ ，如果 $x\left(t+\tau\right)= y\left(t\right)$ ，則可通過互相關求 $\tau$ 。由於信號處理相關知識都蘸醬吃了，理論相關的部分咱們來日方長（我一定可能會補充的）。
XCORR 實現
首先，通過實現 xcorr 函數介紹互相關計算流程：
clc
clear
close
% 實現 xcorr 函數
% 基本設置
T = 1; % [s] 總時間長度
fs = 5000; % [Hz] 采樣頻率
t = 0:1/fs:T; % [s] 時間坐標
N = length(t); % 信號個數
% 信號生成
tm = [ t(1:N) - T , t(2:N) ]; % 相關結果的時間延遲坐標軸
td1 = 0.2*T; % x 信號時間延遲
td2 = 0.3*T; % y 信號時間延遲
noise = rand(1,2*N); % 生成了兩倍時間 T 長度的噪聲 [0,1]噪聲
x = noise(1+round(td1*fs):N+round(td1*fs))-0.5*ones(1,N);
y = noise(1+round(td2*fs):N+round(td2*fs))-0.5*ones(1,N);
% 求取互相關
z1 = xcorr(x,y); % Matlab 自帶函數
[~,I1] = max(abs(z1)); % 模仿 Matlab doc 給出延遲坐標
z2 = zeros(1,N); % 自編函數
for n = 1:length(tm)
z2(n) = sum( x( max(1,n-N+1):min(n,N) ).*y( max(1,N-n+1):min(2*N-n,N) ) );
end
[~,I2] = max(abs(z2)); % 模仿 Matlab doc 給出延遲坐標
%---------------------計算說明--------------------%
% case1： | case2: %
% .N | .2*N-n %
% y: .......... | y: .......... %
% .N-n+1 | .1 %
% .n | .N %
% x: .......... | x: .......... %
% .1 | .n-N+1 %
%------------------------------------------------%
err = z1-z2; % 兩種算法的差
% 繪圖
subplot(1,3,1)
plot(tm,z1)
title('Matlab function')
xlabel('time delay')
ylabel('Amp')
a1 = gca;
a1.XTick = sort([-1:0.5:1 tm(I1)]);
subplot(1,3,2)
plot(tm,z2)
title('My function')
xlabel('time delay')
ylabel('Amp')
a2 = gca;
a2.XTick = sort([-1:0.5:1 tm(I2)]);
subplot(1,3,3)
plot(tm,err,'.-')
title('error')
xlabel('time delay')
ylabel('Amp')
suptitle('xcorr realization')
以上 Matlab 代碼可以得到下面的結果。從左到右依次是 Matlab 自帶函數、我編的互相關函數、兩個函數的差值。不難發現：兩個函數十分接近，但是差值不為零。個人猜測是因為 xcorr 的求和和 sum 求和的截斷誤差不同所致。這個誤差的來源我懶得去編程序驗證了——畢竟10-16量級的差別，沒多大深究的意義。但是可以注意到這個差值有四個特點：
- 小幅值時有固定幾個數值
- 每跑一次程序，rand 產生的噪聲數據不同，error 值不同
- 呈“紡錘型”，中間高，兩邊低
- 實際值大的數據點，error 值大
最后要談一下 xcorr 的噪聲問題。我們通常使用的噪聲是白噪聲，或者高斯白，有一個很重要的特點就是均值為零，也就是說沒有直流分量。但是當我們的噪聲存在直流分量的時候（比如上面的噪聲信號直接使用rand(1,2*N)時），互相關就是一個類似等腰三角形的東西了（想想門函數卷積）。回憶一下，對於存在穩定周期分量的兩組信號 $\textbf{x}$ 、 $\textbf{y}$ 而言，互相關結果將會是一個幅度為“紡錘形”的周期震盪的信號。由此可觀：互相關一方面可以得到非周期信號延遲結果，同時也能反映極端情況下，相同頻率成分的存在，這一點可以用來觀察工頻干擾程度。
XCORR 與 CONV
互相關 xcorr 與 conv 的差別在於兩點：
- xcorr 在兩段信號較短者后補零，使兩段信號長度一致
- xcorr 直接用兩個信號的各種延遲做相乘求和，conv 使用翻褶后的信號做相乘求和
這導致了：
1、xcorr(x,y) 中 (x,y) 順序有影響，而conv(x,y) 沒有
2、兩者在大部分情況下得到的結果是不一樣的，但是對於一些有趣的對稱信號是存在等價關系的。有興趣的讀者可以搞一搞，找找規律。因為本人並不搞對稱相關的研究，這點就不展開了。下面的例子是有等價關系的。
clc
clear
close
% 比較 conv xcorr
% 例子
A = ones(1,12); % -3:3
B = 0:4; % 3:-1:-3
C = xcorr(A,B);
D = conv(A,B);
%繪圖
subplot(2,2,1)
plot(A,'.-')
ylim([ -0.1 5.1 ])
xlim([ 0.9 12.1])
title('A = ones(1,12)')
xlabel('n')
ylabel('Amp')
subplot(2,2,2)
plot(B,'.-')
ylim([ -0.1 5.1 ])
xlim([ 0.9 12.1])
title('B = 0:4')
xlabel('n')
ylabel('Amp')
subplot(2,2,3)
plot(C,'.-')
ylim([ -0.1 15.1 ])
xlim([ 0.9 25.1])
title('xcorr 結果')
xlabel('n')
ylabel('Amp')
subplot(2,2,4)
plot(D,'.-')
ylim([ -0.1 15.1 ])
xlim([ 0.9 25.1])
title('cone 結果')
xlabel('n')
ylabel('Amp')
suptitle('conv與xcorr對比')
有興趣的讀者可以試着用給定函數實現目標函數：
- xcorr --> fliplr
- xcorr --> conv
- conv --> fliplr
- conv --> xcorr
END