對於一個特定的信號來說，有時域與頻域兩個表達形式，時域表現的是信號隨時間的變化，頻域表現的是信號在不同頻率上的分量。在信號處理中，通常會對信號進行傅里葉變換得到該信號的頻域表示，從而得到信號在頻域上的特性，進而可以對該信號進行頻域上的處理。不過對於隨機過程這種不確定的信號是無法直接進行傅里葉轉換的，那么是否就意味着我們無法知曉隨機過程的頻域特性呢？
對於隨機過程，我們也是有辦法得到其頻域特性的，其頻域特性可以用PSD來表達。我們下面將討論WSS Process的PSD是如何表達出其頻域特性的。
Definition
如果把隨機過程$x(t)$看作是單位電阻上的電壓，那么$x^2(t)$則表示的是瞬時功率（能量）。當$x(t)$是WSS時，$x(t)$的瞬時功率期望$E[x^2(t)]$是固定值，期望值為
$\begin{align*}E[x^2(t)] = R_{xx}(0)
&= \mathcal{F}^{-1}\{S_{xx}(j\omega)\}(0)\\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_{xx}(j\omega)e^{j\omega 0}d\omega\\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_{xx}(j\omega)d\omega
\end{align*}$
其中隨機變量的correlation，即$R_{xx}(\tau)$，是一個固定函數，因此它具有傅里葉變換$S_{xx}(j\omega)$，$\omega$就是頻率。對於這個式子，我們可以這么理解：$S_{xx}(j\omega)$表示了功率（能量）期望值$E[x^2(t)]$在頻域上的分布狀況，寬度為$d\omega$的頻率所蘊含的能量大小為$\frac{1}{2\pi}S_{xx}(j\omega)dw$。在所有的$\omega$上都有$S_{xx}(j\omega)>0$。
因此$S_{xx}(j\omega)$被稱為Power Spectral Density（PSD）。
WSS Process Spectral Processing
通過PSD我們可以得到隨機過程的頻域特性，而獲得頻域特性的目的是為了對信號進行頻域處理而服務的，接下來就需要驗證這個頻域特性是否滿足頻域處理的需求。
考慮WSS Process通過一個理想帶通濾波器，得到的輸出為$y(t)$，該輸出process的瞬時功率期望為
$\displaystyle{E[y^2(t)] = R_{yy}(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_{yy}(j\omega)dw}$
帶通濾波器系統如下
帶通濾波器$H(j\omega)$為實LTI系統，也就是說$H(j\omega)$是左右對稱的，因此可以知道該帶通濾波器在頻域上有如下頻譜
此外，在上一篇文章中我們討論過WSS Process在經過LTI系統后所得的process的PSD為$S_{yy}(j\omega) = S_{xx}(j\omega)|H(j\omega)|^2$。因此$y(t)$的PSD如下圖
可見對WSS Process進行頻域上的處理是能體現在PSD上的，這表明PSD確實能表現出WSS Process的頻域特性。而PSD是auto-correlation的傅里葉變換，這表明了一個WSS Process的頻域特性只與不同采樣點之間的相關性有關系，跟采樣點的內部PDF無關。
How to get PSD
這一小節通過Einstein-Wiener-Khinchin Theorem來引入獲取PSD的方法。
假設有一WSS Process，它的一個realization為$x(t)$，我們給這個realization加上一個寬度為$2T$的窗以得到$x_T(t)$
$x_T(t) = w_T(t)x(t)$
$x(t)$是實信號，那么根據傅里葉變換的共軛性質，可以得到
$\begin{align*} x_T(\tau)&\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X_T(j\omega)\\
x_{\overleftarrow{T}}(\tau) = x_T(-\tau)&\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X_T^*(j\omega) \end{align*}$
因此有
$\color{red}{x_T(\tau)*x_{\overleftarrow{T}}(\tau)}\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\color{blue}{|X_T(j\omega)|^2}$
$x(t)$是WSS process的一個realization，不過如果我們把它當作該WSS process，就可以對上述式子的兩邊都求期望，其中左邊為
$\color{red}{\begin{align*}
E\Big\{x_T(\tau)*x_{\overleftarrow{T}}(\tau)\Big\}
&= E\left\{\int_{-\infty}^{\infty}x_T(\alpha)x_{\overleftarrow{T}}(\tau-\alpha)d\alpha\right\}\\
&= E\left\{\int_{-\infty}^{\infty}x_T(\alpha)x_T(\alpha-\tau)d\alpha\right\}\\
&= E\left\{\int_{-\infty}^{\infty}w_T(\alpha)x(\alpha)w_T(\alpha-\tau)x(\alpha-\tau)d\alpha\right\}\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}E\Big\{x(\alpha)x(\alpha-\tau)\Big\}\cdot w_T(\alpha)w_T(\alpha-\tau)d\alpha\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}R_{xx}(\tau)\cdot w_T(\alpha)w_T(\alpha-\tau)d\alpha\\
&= R_{xx}(\tau)\cdot 2T\Lambda(\tau)
\end{align*}}$
$\Lambda(\tau)$是一個三角形函數，頂點為$(0,1),(-T,0),(T,0)$，極限情況下有$\displaystyle{\lim_{T\to\infty}\Lambda(\tau)=1}$
時域與頻域都乘以$\frac{1}{2T}$，可以得到
$\displaystyle{\color{red}{R_{xx}(\tau)\Lambda(\tau)} \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \color{blue}{\frac{1}{2T}E\big[|X_T(j\omega)|^2\big]}}$
此時令$T\to\infty$，左邊就只剩下$R_{xx}(\tau)$，它的傅里葉變換就是$S_{xx}(j\omega)$，因此得到
$\displaystyle{\color{red}{R_{xx}(\tau)} \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\color{blue}{S_{xx}(j\omega)=\lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}E\big[|X_T(j\omega)|^2\big]}}$
上面的式子可以這樣解釋：為了得到$S_{xx}(j\omega)$需要執行以下步驟
- 獲取WSS process的多個realization，這些realization的有效范圍為$(-T,T)$
- 對每個realization執行$\mathcal{F}\big\{ x_T(t)*x_{\overleftarrow{T}}(\tau) \big\}$以得到多個$|X_T(j\omega)|^2$
- 對這些$|X_T(j\omega)|^2$求平均，然后再乘以$\frac{1}{2T}$，就能得到$S_{xx}(j\omega)$
※realization的數量越多，$T$的范圍越大，最終得到的$S_{xx}(j\omega)$就會越精確。
Reference:
Alan V. Oppenheim: Signals, Systems and Inference, Chapter 10:Power Spectral Density