等式約束的二次規划問題

 

等式約束的二次規划問題一般形式是

其中

應用直接消去法求解：將A分塊，使其包含一個m×m非奇異矩陣A_B，x，g做對應的分塊

帶入到等式約束條件中，可解得x_B，再帶入q(x)，於是二次規划問題轉化為無約束規划問題

這個二次規划問題有解析解

 

廣義消去法是消去法的一個推廣，將Rⁿ划分成兩個空間：一個A的列的像空間V，一個A^T的零空間K

設Y是V的一組基構成的n×m矩陣，Z是K的一組基構成的n×（n-m）矩陣，並且[Y Z]是正交矩陣

選取Y，Z滿足

令

根據約束條件，有

 因此有

帶入一般形式，原問題轉化為無約束優化問題

可得到該無約束優化問題的解，從而得到原問題的解

 

下面給出代碼實現：

直接消去法

from numpy import *

def equation_constraint(G,g,A,b):
    m=min(A.shape)
    n=max(A.shape)
    M = range(0, n)
    E = range(0, m)
    A_B = A[E,:]
    I = setdiff1d(M, E)
    A_N = A[I,:]
    i=0
    x = arange(0, n).astype(float)
    while True:
        if linalg.matrix_rank(A_B)==m:
            break
        else:
            i+=1
            E[m-i]+=1
            I = setdiff1d(M, E)
            A_B = A[E, :]
            A_N = A[I, :]
    G_BB=G[E,:][:,E]
    G_AA=G[I,:][:,I]
    G_AB=G[I,:][:,E]
    G_BA=G[E,:][:,I]
    g_B=g[E]
    g_A=g[I]
    invABAN=dot(A_N,linalg.inv(A_B))
    invABb=dot(linalg.inv(A_B).T,b)
    G_hat=G_AA-dot(G_AB,invABAN.T)-dot(invABAN,G_BA)+dot(invABAN,dot(G_BB,invABAN.T))
    g_hat=g_A-dot(invABAN,g_B)+dot(G_AB-dot(invABAN,G_BB),-invABb)
    x[E]=invABb+dot(dot(invABAN.T,linalg.inv(G_hat)),g_hat)
    x[I]=-dot(linalg.inv(G_hat),g_hat)
    return x